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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 52

Usando os teoremas 4.5 e 4.9, determine a média e a variância da variável aleatória Z = 5 X + 3 , onde X tem a distribuição de probabilidade do Exercício 4.36.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Nós temos que a propriedade abaixo é verdadeira para qualquer a ,   b ∈ R .

E a X + b = a E x + b

Sendo assim, o valor esperado de Z = 5 X + 3 é:

E Z = E 5 X + 3 = 5 E X + 3

A variável aleatória X tem a função de densidade definida por:

f x = 1 4 e - x / 4 ,             x ≥ 0

E o valor esperado de X é igual a 4 :

E X = ∫ 0 ∞ 1 4 x e - x / 4 d x = 4

Portanto, o valor esperado (média) de Z é:

E Z = E 5 X + 3 = 5 E X + 3 = 5 4 + 3 = 23

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Nós temos a seguinte propriedade como verdadeira:

V a X + b = σ a X + b 2 = a 2 ∙ σ X 2

σ a X + b = a ∙ σ X

Portanto, temos:

V Z = V 5 X + 3 = 5 2 V X = 25 V ( X )

Onde, V X = 4 2 = 16 (como é uma distribuição exponencial) que é obtida a partir da definição e de duas integrações parciais, logo:

V Z = 25 ∙ 16 = 400

Resposta

E Z = 23

V Z = 400

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