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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 1

Vamos definir S ' 2 = ∑ i = 1 n   X i - X ‾ 2 / n . Mostre que

E S ' 2 = [ ( n - 1 ) / n ] σ 2 ,

e, entâo, S 2 é um estimador viciado de σ 2 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Dado que S ' 2 = 1 n ∑ i = 1 n   x i - x ‾ 2

  = 1 n ∑ i = 1 n     x i - μ + μ - x ‾ 2   = 1 n ∑ i = 1 n     x i - μ - ( x ‾ - μ ) 2   = 1 n ∑ i = 1 n     x i - μ 2 + 1 n ∑ i = 1 n     ( x ‾ - μ ) 2 - 2 1 n ∑ i = 1 n     x i - μ ( x ‾ - μ )   = 1 n ∑ i = 1 n     x i - μ 2 + ( x ‾ - μ ) 2 - 2 1 n ∑ i = 1 n     x i - μ ( x ‾ - μ )

  = σ x 2 + ( x ‾ - μ ) 2 - 2 1 n ∑ i = 1 n     X i - 1 n ∑ i = 1 n     μ ( x ‾ - μ )   = σ x 2 + ( x ‾ - μ ) 2 - 2 ( x ‾ - μ ) ( x ‾ - μ ) ,   j á  que  '  μ  '  é constante   = σ x 2 + ( x ‾ - μ ) 2 - 2 ( x ‾ - μ ) 2   = σ x 2 - ( x ‾ - μ ) 2

Passo 2

E S ' 2 = E σ x 2 - ( x ‾ - μ ) 2   = E σ x 2 - E [ x ‾ - μ ] 2   = σ x 2 - σ x ‾ 2   J á  que   σ x ‾ 2 = V a r ⁡ ( x ‾ )   = V a r ⁡ 1 n ∑ i = 1 n     x i   = 1 n 2 ∑ i = 1 n     σ x 2   = n σ x 2 n 2   = σ x 2 n

Passo 3

E S ' 2 = σ x 2 - σ x ‾ 2   = σ x 2 - σ x 2 n   = n - 1 n σ 2   ⇒ E S 2 ≠ σ 2

S ' 2 é um estimador tendencioso para σ 2

Resposta

Resposta nos passos.

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