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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 41

7-41.Suponha que X seja uma variavel aleatoria de Puisson com parametro A.Seja a distribuicao previa para 8 uma distribuicao gama com paramctrosm-lcim+lag

fal Encontre a distribuicao posterior de A.

（b)Encontre o estimador de Bayes para A

Passo 1

A distribuição de probabilidade conjunta da amostra X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n e o parâmetro θ ( θ   é uma variável aleatória) é

f x 1 , x 2 , … , x n , θ = f x 1 , x 2 , … , x n ∣ θ f ( θ )

e a distribuição marginal de X 1 ,   X 2 , . . . ,   X n é:

f x 1 , x 2 , … , x n = ∑ f x 1 , x 2 , … , x n , θ         , θ   d i s c r e t o   ∫ - ∞ ∞   f x 1 , x 2 , … , x n , θ d θ         , θ   c o n t í n u o  

Portanto, a distribuição desejada é:

f θ ∣ x 1 , x 2 , … , x n = f x 1 , x 2 , … , x n , θ f x 1 , x 2 , … , x n

Definimos o estimador de Bayes de θ   como o valor θ ^   que corresponde à média da distribuição posterior f ( θ | x 1 , x 2 , . . . , x n ) .

Passo 2

Letra a:

Primeiro, precisamos encontrar a função de massa de probabilidade conjunta. A variável aleatória X segue a distribuição de Poisson. Portanto, a função de massa de probabilidade de X é:

f ( x ∣ λ ) = λ x x ! e - λ , x = 0,1 , 2 , …

e a distribuição anterior para λ   é a distribuição gama com parâmetros m + 1 e m + 1 λ 0 , a função de massa de probabilidade é

f ( λ ) = 1 Γ ( m + 1 ) λ m e x p ⁡ - m + 1 λ 0 λ m + 1 λ 0 m + 1 , λ > 0

A função de massa de probabilidade conjunta é

f ( x , λ ) = λ x x ! e x p ⁡ { - λ } × 1 Γ m + 1 λ m e x p ⁡ - m + 1 λ 0 λ m + 1 λ 0 m + 1 = = 1 Γ ( m + 1 ) λ m + x e x p ⁡ - λ - m + 1 λ 0 λ m + 1 λ 0 m + 1 1 x ! , λ > 0 , x = 0,1 , 2 , …

com a observação de que a função de densidade de probabilidade da distribuição gama com os parâmetros α e β é:

f ( x ; α , β ) = 1 Γ ( α ) x α - 1 e x p ⁡ { - β x } β α , x , α , β > 0

Observe que podemos reescrever a função como

f ( x , λ ) = 1 Γ ( m + x + 1 ) λ m + x e x p ⁡ - 1 + m + 1 λ 0 λ 1 + m + 1 λ 0 m + x + 1 ⋅ h 1 ( x )

onde a função h 1 não contém λ , é uma função de valores conhecidos. Neste caso, se sabemos a distribuição exata (se for conhecida) da função ao lado de h 1 podemos concluir que é a distribuição posterior de λ . Neste caso, olhamos para f ( x , λ )   apenas como um função de λ ! você ainda pode calcular a distribuição marginal e terminar a tarefa normalmente, mas isso requer muito mais tempo.

Passo 3

Letra b:

A média da distribuição gama é conhecida e é

λ ~ = α β = m + x + 1 1 + m + 1 λ 0 = λ 0 m + x + 1 m + λ 0 + 1

Resposta

  1. A distribuição posterior de λ é a distribuição gama com parâmetros   m + x + 1  e  1 + m + 1 λ 0
  2. λ ~ = λ 0 m + x + 1 m + λ 0 + 1
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