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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 9

A velocidade de uma molécula em um gás uniforme em equilíbrio é uma variável aleatória cuja fdp é dada por

f v = a v 2 e - b v 2

Onde b = m 2 k T e k, T e m denotam respectivamente a constante de Boltzman, a temperatura absoluta e a massa da molécula.

Calcular a constante a (em termos de b) e estabelecer a distribuição da variável aleatória W=mV²/2, a qual representa a energia cinética da molécula.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a função de distribuição da velocidade e a constante. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

f v = a v 2 e - b v 2

b = m 2 k T

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

∫ f v d v = 1

Substituindo nossos valores ali, teremos:

∫ a v 2 e - b v 2 d v = 1

∫ a v 2 e - b v 2 d v =   - a 2 b ∫ v e - b v 2 ( - 2 b v d v )  

∫ v e - b v 2 - 2 b v d v = v e b v 2 - ∫ e - b v 2 d v =   - 1 2 π b 1 2

a = 4 b   b p i

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

v = 2 w m 1 2

d v d w = 1 m 2 w m - 1 2

g w = 2 k T w π k T 1 / 2 e - w / k T

Resposta

a = 4 b   b p i

g w = 2 k T w π k T 1 / 2 e - w / k T

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