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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 42

A dureza Rockwell de um metal é determinada pela pressão de uma ponta rígida na superfície do metal e, em seguida, pela medição da profundidade de penetração das pontas. Suponha que a dureza Rockwell de uma determinada liga tenha distribuição normal com média 70 e desvio padrão 3. (A dureza Rockwell é medida em uma escala contínua.)

a. Se uma amostra for aceitável apenas se a sua dureza estiver entre 67 e 75, qual é a probabilidade de uma amostra selecionado a aleatoriamente ter dureza aceitável?

b. Se o intervalo aceitável de dureza for ( 70 - c , 70 + c), para que valor de c 95 % de todos das amostras teriam uma dureza aceitável?

c. Se o intervalo aceitável for o da parte (a) e a dureza de cada uma de 10 amostras selecionadas aleatoriamente for determinada de forma independente, qual será o número esperado de amostras aceitáveis dentre os 10?

d. Qual é a probabilidade de no máximo oito de 10 amostras selecionadas de forma independente terem dureza inferior a 73,84? (Sugestão: Y = número entre as 10 amostras com dureza inferior a 73,84 é uma variável binomial. Qual é p ?)

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

Se uma amostra for aceitável apenas se a sua dureza estiver entre 67 e 75, qual é a probabilidade de uma amostra selecionado a aleatoriamente ter dureza aceitável?

a .   P ( 67 ≤ X ≤ 75 ) = P ( - 1.00 ≤ Z ≤ 1.67 ) = . 7938

Passo 2

Se o intervalo aceitável de dureza for ( 70 - c , 70 + c), para que valor de c 95 % de todos das amostras teriam uma dureza aceitável?

b.  P ( 70 - c ≤ X ≤ 70 + c ) = P - c 3 ≤ Z ≤ c 3 = 2 Φ c 3 - 1 = . 95 ⇒ Φ c 3 = . 9750

c 3 = 1.96 ⇒ c = 5.88

Passo 3

Se o intervalo aceitável for o da parte (a) e a dureza de cada uma de 10 amostras selecionadas aleatoriamente for determinada de forma independente, qual será o número esperado de amostras aceitáveis dentre os 10?

c. 10⋅P(um único é aceitável)=9,05

Passo 4

Qual é a probabilidade de no máximo oito de 10 amostras selecionadas de forma independente terem dureza inferior a 73,84? (Sugestão: Y = número entre as 10 amostras com dureza inferior a 73,84 é uma variável binomial. Qual é p ?)

d.  p = P ( X < 73.84 ) = P ( Z < 1.28 ) = . 9 , so  P ( Y ≤ 8 ) = B ( 8 ; 10,9 ) = . 264

Resposta

a. . 7938

b. 5.88

c. 9,05

d. . 264

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

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