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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 17

A voltagem de uma pilha nova pode ser aceitável (A) ou inaceitável (I). Uma lanterna específica exige duas pilhas, que serão selecionadas e testadas independentemente até que sejam encontradas duas aceitáveis. Suponha que 90% de todas as pilhas tenham voltagem aceitável. Seja Y o número de pilhas que devem ser testadas.

a. Qual é o valor de p(2), isto é, P(Y 2)? b. Qual é o valor de p(3)? (Sugestão: Há dois resultados diferentes que dão Y 3.) c. Para ter Y 5, o que deve ser verdadeiro para a quinta pilha selecionada? Relacione os quatro resultados possíveis para os quais Y 5 e depois determine p(5). d. Use o padrão de suas respostas para as partes (a)–(c) para obter a fórmula geral de p(y

Passo 1

Primeiro observe que Y é uma variável aleatória discreta.

A Função de Massa de Probabilidade (pmf) de uma variável aleatória discreta X é

p ( x ) = P ( X = x ) = P ( ω ∈ S : X ( ω ) = x )

para cada número x.

Nos é dado

P A = 0.9 ;

P U = P A ' = 1 - P A = 1 - 0.9 = 0.1

Passo 2

  1. Denotar evento

    2. F 2 =   a s   d u a s   p r i m e i r a s   b a t e r i a s   s ã o   a c e i t á v e i s

    Nós temos o seguinte

    p 2 = P Y = 2 = P F 2 = P A   ∩ A = P A ∙ P A

    = 0.9 ∙ 0.9 = 0.81

  2. O seguinte é verdadeiro

    3. p 3 = P Y = 3 = P U ∩ A ∩ A ∪ A ∩ U ∩ A

    = P U ∩ A ∩ A + P A ∩ U ∩ A

    = P U ∙ P A ∙ P A + P A ∙ P U ∙ P A

    = 0.1 ∙ 0.9 2 + 0.1 ∙ 0.9 2

    = 0.162

  3. O quinto batedor deve ser A (aceitável) -− porque o processo para quando dois aceitáveis forem encontrados.

    4. O seguinte vale

    p 5 = P Y = 5 = P [ A U U U A ∪ U A U U A ∪ U U A U A ∪ U U U A A ) ]

    = 4 ∙ 0.1 3 ∙ 0.9 2

    = 0.00324

  4. Primeiro observe que y ∈ N { 1 } , isso porque Y denota o número de baterias que devem ser testadas (pelo menos duas). Portanto,

p y = 0 ,   y ∉ N 1

Suponha que y ∈ N { 1 } . Como mencionamos, no último lugar tem que haver um A, e ficamos com y-1y−1 lugares. Desses lugares y-1y-1, precisamos escolher um lugar para ser A e podemos contar o número de resultados possíveis usando combinações

y - 1 1 = y - 1

onde dos primeiros y-1 lugares, escolhemos um para colocar A nele. Portanto, existem y-1 eventos diferentes de. Cada um desses eventos tem probabilidade de calcularmos da mesma forma que em (b) e (c)

0.1 y - 2 ∙ 0.9 2

porque existem 2 As e y-2 Us. Sabendo disso, vale o seguinte

p y = y - 1 ∙ 0.1 y - 2 ∙ 0.9 2 ,   ∈ N 1

Resposta

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