Para uma variável aleatória N assumindo valores inteiros não-negativos, mostre que E N = ∑ i = 1 ∞ P N ≥ i

Passo 1

Eaee pessoal!! Só na tranquilidade? Prontos pra resolver uma questão de estatística?

Este exercício aqui não é nenhum bicho de sete cabeças, na verdade é relativamente simples, mas precisa resgatar um pouco de matemática, principalmente sobre as series telescópicas, mas isso vocês logo vão ver...

Antes de tudo, devemos resgatar a definição de esperança matemática:

E N =   ∑ i = 1 ∞ n P ( N = i )

Passo 2

Uma vez que relembrado o conceito de esperança matemática, por meio das séries telescópicas podemos desenvolver esta conta para chegar no somatório que o exercício nos pede para mostrar. Mas para isso devemos levar em consideração que P N = i = P N > i - 1 - P ( N > i )

∑ i = 1 ∞ n P N = i = ∑ i = 1 ∞ n P N ≥ i - 1 - P N ≥ i

                                                                    = ∑ i = 1 ∞ n P N ≥ i - 1 - ∑ i = 1 ∞ n P N ≥ i

                                                                                                          = ∑ i = 2 ∞ n P N ≥ i - 1 - ∑ i = 2 ∞ ( n - 1 ) P N ≥ i - 1

                                                = ∑ i = 2 ∞ n - n - 1 P ( N ≥ i - 1 )

= ∑ i = 2 ∞ P N > i - 1

= ∑ i = 1 ∞ P ( N > i )

Ufaaa! Acabamos por aqui! Só alegria neste exercício aqui né gente?!

Resposta

Resposta no Passo 2

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