Criação de polinômios
Produzido por Gustavo BarbosaTeoria
Opa iae, tudo em cima?
Hoje iremos começar um novo bloco de conteúdos: os polinômios.
Bem, os polinômios são expressões matemáticas encontradas frequentemente na modelagem e na solução de problemas nas engenharias e demais ciências exatas.
Vamos imaginar que você é um engenheiro dedicado e deseja estudar a variação da temperatura ao longo do tempo em um reator, e experimentalmente foram obtidos os seguintes dados:
Aí teu chefe chega para tu e pergunta “Em quanto tempo o reator chegará na temperatura crítica de ?”
Só olhando os pontos fica complicado né? Mas e se nós tivéssemos uma função que relacionasse tempo e temperatura, que pudesse te dar uma ideia desses valores?
Muito mais fácil de predizer algo né?
Pois bem, vamos aprender a criar essas funções!
Beeeeem, no Matlab existem duas formas de criar um polinômio, a primeira forma é inserindo os coeficientes do polinômio manualmente e a segunda é o que nós usaremos pra resolver o exemplo anterior, onde queremos gerar um polinômio a partir de alguns pontos já dados.
E adivinha... são esses métodos que iremos ver hoje!
Primeiro Método
O primeiro método para criação de um polinômio em matlab é escrevendo diretamente no programa, mas como fazer isso né?
Vaaaaamos voltar para aqueles exemplos básicos de cálculo, imagine que você tem a seguinte função de segundo grau:
Se nós analisarmos direitinho, podemos organizar a função da seguinte maneira:
Opa, organizamos nosso polinômio como uma multiplicação entre dois vetores, sabe qual é o bom disso?
Para criar um polinômio no Matlab, basta inserirmos um vetor com os coeficientes do polinômio:
Temos algumas funções no Matlab que trabalham especificamente com polinômios e quando inserimos numa delas um vetor desse tipo, automaticamente elas interpretam que esses valores são os coeficientes de um polinômio e realizam as operações desejadas.
Ah e uma coisa, por exemplo se tivéssemos o seguinte polinômio:
Reescrevendo na forma de vetores, fica:
Mas como iremos inseri-lo no Matlab?
Bem, em casos como esse, onde temos um coeficiente nulo (igual a ), vamos formular o polinômio da seguinte forma:
Pois quando o valor zero multiplicar o , ele irá sumir do polinômio, beleza?
Então o polinômio no Matlab fica:
E como essas informações me ajudam? E se eu quiser calcular o valor do polinômio pra um determinado ?
Basta utilizar uma outra função chamada !
Então vamos calcular o valor do polinômio quando . Olha como fica o código:
Primeiramente, vamos inserir o vetor do polinômio:
Depois disso vamos implementar a função , para calcular o valor do polinômio.
A função no Matlab se torna:
A sintaxe exige os coeficientes do polinômio na primeira variável enquanto a segunda variável é o valor de que se deseja calcular o polinômio.
O código do Matlab fica assim:
Executando o código geramos os seguintes resultados:
Prontinho! Vamos pro segundo método!
Segundo Método: Interpolação Linear
O segundo método para criação de um polinômio é criá-lo a partir de dois vetores de dados numéricos, um que corresponde às variáveis que conhecemos por variáveis dependentes e outro que conhecemos pelas variáveis independentes.
Ok, oook na sua cabeça deve estar se perguntando “mas como se cria isso?”
Vamos responder isso com um exemplo, belezinha? Então vamos lá
Aproveitando os dados do exemplo lá do comecinho, vamos criar primeiramente os vetores de entrada de dados.
Para lembrarmos dos dados, a tabela é a seguinte:
Agora vamos inserir o vetor das variáveis independentes:
Agora vamos inserir o vetor das variáveis dependentes, ou seja, aquelas variáveis que dependem de .
Agora que criamos os vetores precisamos criar o polinômio.
Para isso, vamos fazer uma regressão polinomial, essa ferramenta que cria uma função polinomial que ajusta a própria função para predizer o máximo possível os vetores que foram informados.
No Matlab essa função se chama , e sua sintaxe para o exemplo em questão é dada por:
Seu código deve ficar algo mais ou menos assim:
Executando o código você irá encontrar o seguinte vetor:
E essa é a função de primeiro grau que se ajusta aos vetores numéricos, logo:
Mas onde falamos que o polinômio é de primeiro grau né?
Voltando à função , se você olhar direitinho existe um local na sintaxe que colocamos o número É justamente aí que você vai indicar qual o grau do polinômio que você quer, entende?
Vamos colocar o número nesse lugar e ver o que acontece, belezinha? Olha só o que vai mostrar:
Um novo coeficiente, ou seja, um polinômio de segundo grau:
Mas como eu vou saber se o polinômio realmente se ajusta bem aos pontos?
Beeeeeeem a forma mais simples é plotando o gráfico com os valores dos vetores.
Para isso precisamos adicionar mais algumas linhas ao nosso código okay?
Primeiramente vamos criar um vetor de pontos para representar o vetor de uma forma contínua:
Agora vamos calcular o valor do polinômio nesses pontos utilizando a função
Agora iremos criar um plot para a saída de dados:
O seu código completinho deve ficar algo mais ou menos assim:
Executando o código, deverá ser gerado um gráfico mais ou menos assim:
Iae o que achou? Ferramentas interessantes para engenharia né?
Beeeeeeeeeem, vamos ficar por aqui pessoal. Mas não esqueça de olhar os exercícios para praticar, selecionamos uns exercícios bem da hora para vocês!
Eeeeeeeeee até a próxima!