Operações com Polinômios (Zeros, Soma, Produto e Divisão de Polinômios)

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Teoria

Iae como você está?

Está tudo bem?

Espero que sim, pois hoje iremos bater mais um papinho sobre polinômios. Imagine que você está em uma aula de cálculo e você precisa encontrar os zeros do seguinte polinômio:

x 5 - 12.1 * x 4 + 40.59 * x 3 - 17.015 * x 2 - 71.95 * x + 35.88 = 0

Ou mesmo escrever uma rotina para a resolução de uma equação do tipo:

a * x 2 + b * x + c = 0

É complicadinho demais né?

E se eu te falar que existe uma função no Matlab que faz isso em apenas 2 linhas de código, você acreditaria?

E não só existe essa ferramenta, na realidade existe uma infinidade de ferramentas para se trabalhar polinômios dentro do matlab e hoje iremos ver as mais importantes, tranquilo?

Entãaaaaaaao vai pegar o papel e a caneta porque iremos começar.

Encontrando os zeros de polinômios

O zero de um polinômio é o valor da variável independente para o qual o polinômio se anula.

Para encontrar os zeros de uma função polinomial no Matlab nós utilizamos a função r o o t s e para ficar mais claro vamos explicar essa função através de um exemplo.

Primeiramente vamos inserir o seguinte polinômio no Matlab:

p x = x 2 + 2 x + 1

O vetor dos coeficientes do polinômio é dado por:

p = 1   2   1 ;

E pra encontrar a raiz do polinômio vamos chamar a função r o o t s , cuja sintaxe é dada por:

f = r o o t s p

No Matlab o mini código deve ficar algo mais ou menos assim:

E executando o código, você irá obter a seguinte resposta:

Ou seja, as duas raízes do polinômio de grau dois são dadas por:

x 1 = - 1  

x 2 = - 1

Mas aí vem a pergunta, se eu já tiver os valores das raízes o Matlab consegue encontrar o polinômio?

E MEU AMIGO, ELE CONSEGUE SIIIIIIIIIIIIM HAHAHHAHA

E para isso iremos utilizar uma outra função chamada de p o l y , e sua sintaxe também é simples.

Primeiramente precisamos criar o vetor com as raízes do polinômio, vamos utilizar o exemplo anterior cuja as raízes são iguais a - 1 .

No Matlab isso fica assim:

p = - 1   - 1 ;

E agora chamamos a função poly:

f = p o l y p

Seu mini código ficará algo assim:

Executando o código, teremos o seguinte resultado:

Ou seja, retornaremos aos coeficientes que geram o seguinte polinômio:

p x = x 2 + 2 * x + 1

Adição de polinômios

Como estamos trabalhando com vetores, a adição de polinômios é realizada da mesma forma como se estivéssemos somando vetores.

Por exemplo, se eu tenho os seguintes polinômios:

p 1 x = 3 * x 6 + 15 * x 5 - 10 * x 3 - 3 * x 2 + 15 x - 40

p 2 x = 3 * x 3 - 2 x - 6

E eu quero somar ambos os polinômios, sabemos das aulas de álgebra que só podemos somar os termos que estão na mesma base, ou seja x 2 so irá se somar com x 2 , e daí por diante.

Então para somar precisamos realizar a seguinte operação:

Vamos inserir primeiro o vetor de maior potência, lembrando que os termos que não aparecem no polinômio são representados por um zero multiplicando a potência de x , ou seja, nesse polinômio o x 4 esta da seguinte forma: 0 * x 4 . Ok?

Então o polinômio fica:

p 1 = 3     15     0   - 10   - 3     15   - 40

Já o segundo polinômio precisa ter o mesmo número de coeficientes escritos e, como não temos termos acima de x 3 , colocamos todos como zero:

p 2 = [ 0     0     0     3     0   - 2   - 6 ]

E finalmente a soma dos polinômios é dada por:

p = p 1 + p 2

Colocando isso no command Windows temos os seguintes resultados:

E o mesmo é feito pra subtração de polinômios, só substituindo o + por - !

Multiplicação de polinômios

Na matemática dois polinômios se multiplicam utilizando a relação de distributividade da álgebra, logo para realizar a multiplicação de dois polinômios, o Matlab usa uma função especial chamada de função c o n v .

Vamos utilizar os vetores do exemplo anterior:

p 1 = 3     15     0   - 10   - 3     15   - 40 ;

p 2 = 0     0     0     3     0   - 2   - 6 ;

E agora vamos realizar o produto entre os polinômios utilizando a função c o n v :

c = c o n v p 1 , p 2

Utilizando o command windows o resultado que irá aparecer é o seguinte:

Agora vem a pergunta: se tivéssemos produtos de mais de dois polinômios? Por exemplo, temos além de p 1 e p 2 , tivéssemos o polinômio:

p 3 = 1   1 ;

Para resolver um problema de mais de dois polinômios precisamos resolver por partes, ou seja, fizemos a multiplicação de p 1 e p 2 e anexamos a informação na variável c .

Agora vamos multiplicar o polinômio que está na variável c pelo p 3 , logo no matlab deve ficar algo assim:

p 3 = 1   1

d = c o n v c , p 3

E deve mostrar o seguinte resultado:

Divisão de polinômios

Finalmente chegamos na última operação né?

Essa aqui é a operação de divisão, lembra como realiza a divisão entre dois polinômios?

No ensino médio utilizamos a seguinte regrinha, sejam p 1 e p 2 dois polinômios, onde o grau de p 1 deve ser maior do que o grau de p 2 , temos que:

p 1 p 2 = q + r e s t o p 2

Onde q é um polinômio qualquer e o r e s t o é o resto da divisão, então quando efetuamos uma divisão de dois polinômios temos duas saídas: a primeira é o polinômio q e a segunda é o polinômio r e s t o .

Você deve estar se perguntando “E de que isso me importa?”, bem é que quando realizamos uma divisão no Matlab ele nos dá dois resultados.

Esses dois resultados são os polinômios q e o resto.

Para entender melhor vamos resolver a seguinte divisão:

f x = 2 * x 3 + 9 * x 2 + 7 x - 6 x + 3

Para realizar essa divisão vamos inserir os dois polinômios no Matlab, tanto o numerador quanto o denominador.

Então primeiramente vamos inserir os polinômios:

n u m = 2   9   7 - 6 ;

d e m = 1   3 ;

Agora vamos realizar a divisão, para isso vamos utilizar a função d e c o n v , e lembra que falamos que uma divisão gera duas saídas?

Para não gerar erros, vamos padronizar as variáveis da seguinte forma:

q   r e s t o = d e c o n v n u m , d e m

As nomeações das variáveis podem ser de forma arbitrária, mas a ordem é sempre assim, ok?

Inserindo no Matlab temos o seguinte código:

Executando o código iremos obter o seguinte resultado:

Ou seja, o resultado é dado por:

f x = 2 * x 3 + 9 * x 2 + 7 x - 6 x + 3 = ( 2 * x 2 - 3 * x - 2 ) + 0 x + 3

Opa galeraaa chegamos ao fimmm, hoje ficaremos por aqui e não esqueçam de dar uma olhadinha nos exercícios, okay? Escolhemos todos com bastante carinho para você praticar!

Adição de polinômios

Multiplicação de polinômios

Divisão de polinômios

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Realize as seguintes operações no Matlab:

  1. 15 * x 5 + 35 * x 4 - 37 * x 3 - 19 * x 2 + 41 * x - 15 5 * x 3 - 4 * x + 3
  2. 4 * x 4 + 6 * x 3 - 2 * x 2 + 5 * x + 3 x 2 + 4 * x + 2

Passo 1

A questão é uma aplicação direta da função deconv.

Porque ambas as alternativas estão procurando as divisões de dois polinômios e no Matlab a função deconv serve especificamente para realizar a operação de divisão entre dois polinômios.

Então primeiramente precisamos inserir os vetores dos coeficientes de cada polinômio e depois chamar a função deconv, pois devemos sempre ter em mente que o Matlab trabalha com vetores e quando inserimos os coeficientes dos polinômios na forma de um vetor é o mesmo de estar inserindo o polinômio.

Para finalizar basta criar uma saída de dados organizada para sabermos os resultados da divisão de polinômio.

Então o algoritmo fica algo mais ou menos assim:

1-Entrada de dados (inserir os vetores dos polinômios)

2-Implementação da função deconv

Passo 2

Transformando o algoritmo em programação no Matlab vamos inserir os vetores correspondente aos coeficientes dos polinômios envolvidos na letra a e b. Os elementos de cada vetor são os coeficientes do polinômio, então fica assim:

n u m 1 = 15       35     - 37   - 19         41     - 15   ;

Lembrando de um detalhezinho, como o x 2 não aparece no denominador é o mesmo que ter o coeficiente nulo, então devemos colocar o vetor do seu coeficiente da seguinte forma:

d e n 1 = 5   0   4   2 ;

E os demais elementos podemos escrever apenas inserindo os coeficientes dos polinômios normalmente.

n u m 2 = 4           6         - 2           5         3 ;

d e n 2 = 1   4   2

Lembrando que a saída da função deconv é um vetor então devemos colocar as variáveis de saída dentro de um colchete.

Agora iremos gerar a divisão de polinômios da letra a:

q 1   r e s t o 1 = d e c o n v ( n u m 1 , d e n 1 )

E agora iremos gerar a divisão da letra b

q 2   r e s t o 2 = d e c o n v ( n u m 2 , d e n 2 )

Passo 3

Se você digitou tudo certinho deverá mostrar algo mais ou menos assim para você:

Executando o código, na sua janela do command Window deve estar mostrando algo assim:

Resposta

Os vetores respostas de cada alternativa são:

a)

b)

Exercício Resolvido #2

Um tanque de gás possui o formato de um cilindro com extremidades hemisféricas.

O raio do cilindro é r e o comprimento é 4 r . Determine r considerando que o volume do tanque é 0.85   m 3

Passo 1

A questão fala de um reservatório onde as extremidades são calotas esféricas e o corpo é um cilindro, ou seja, é formado por um cilindro e duas semi-esferas. Sendo assim o volume total do reservatório é dado por:

V t = V c i l i n d r o + V e s f e r a

A questão também nos dá uma informação importante que o Raio do cilindro é de r e o comprimento do cilindro de de 4 r .

Então a fórmula para o cálculo do volume se torna:

V t = π * r 2 * 4 * r + 4 3 * π * r 3

= 4 * π * r 3 + 4 3 * π * r 3 = 17 3 * π * r 3

Sendo assim a equação final fica;

V t - 17 3 * π * r 3 = 0

Então a questão pede para utilizar essa equação final e encontrar um valor de r fisicamente válido, para isso vamos utilizar da função r o o t s para encontrar um valor de r para que a equação cúbica acima seja nula.

Passo 2

Dado que V t = 0.85   m 3 temos que a equação cúbica se torna:

0.85 - 17 3 * π * r 3 = 0

Logo o vetor dos coeficientes da equação cúbica se torna (não esqueça dos coeficientes nulos do r 2 e do r )

p = - 17 3 * π       0         0       0.85    

Agora iremos implementar a função roots:

z e r o s = r o o t s p

Passo 3

Se colocou tudo certinho seu programa no Matlab deve estar algo mais ou menos assim:

Executando esse mini código na sua janela de command Window deve mostrar algo assim:

De todas as possíveis respostas a única que é fisicamente aceitável é a resposta de r = 0.3628

Pois as demais respostas estão no domínio dos complexos o que não gera uma resposta fisicamente significativa.

Resposta

r = 0.3628

Exercício Resolvido #3

Dado os seguintes polinômios abaixo:

P 1 x = x 5 - 4 * x 4 + 11 * x 3 - 4 * x 2 - 5 * x - 2

P 2 x = 9 * x 2 - 10 * x + 6

Realize a soma e a subtração desses polinômios para encontrar o polinômio resultante dessas operações.

Passo 1

A questão aqui é simples, o foco é apenas fazer com que você pratique a operação básica de soma e subtração de polinômios.

Bem, aqui primeiramente você precisa perceber que os polinômios são de ordem diferentes, logo você precisa completar os coeficientes do polinômio de menor ordem com zeros até ele chegar na ordem 5.

Uma vez que você percebeu isso, basta criarmos o algoritmo de resolução da questão para termos uma ideia do passo a passo dos cálculos envolvidos aqui.

Sendo assim o algoritmo dessa questão se torna:

1-Entrada de dados (Implementa-se os vetores com os coeficientes dos polinômios)

2-Realiza a soma entre os polinômios

3-Realiza a subtração entre os polinômios

Passo 2

Transformando o algoritmo em programação no Matlab vamos inserir os seguintes vetores correspondente aos polinômios envolvidos na questão. O vetor de um polinômio é formado pelos seus coeficientes.

Então a matriz dos coeficientes fica:

p 1 = 1   - 4     11   - 4   - 5   - 2 ;

p 2 = 0     0     0     6   - 10     6 ;

Agora iremos implementar as operações de soma e subtração:

s o m a = p 1 + p 2

s u b t r a c a o = p 1 - p 2

O codigozinho no Matlab deve ficar algo mais ou menos assim:

Executando o código, na sua janela do command Window deve estar mostrando algo assim:

Resposta

Logo os polinômios são:

s o m a = x 5 - 4 * x 4 + 11 * x 3 + 2 * x 2 - 15 * x + 4

s u b t r a ç ã o = x 5 - 4 * x 4 + 11 * x 3 - 10 * x 2 + 5 * x - 8

Exercício Resolvido #4

Uma esfera de alumínio é utilizada como boia sinalizadora. A esfera possui raio externo igual a 60cm e espessura da capa de alumínio de 12 m m . A densidade do alumínio é ρ =   2.690   k g / m 3 . A bóia foi jogada ao mar, onde a densidade da água vale ρ =   1.030     k g / m 3 .

Elabore uma Rotina em Matlab que permita calcular a altura do nível do mar até o topo da bóia.

Dica: A partir de cálculos de equilíbrios de força é possível obter a seguinte equação que modela a física do processo:

h 3 - 3 * r 0 * h 2 + 4 * r 0 3 - 4 * ρ b o i a ρ f l u i d o * r 0 3 - r ì 3 = 0

Passo 1

A questão pede para calcularmos a posição de equilíbrio que a bóia estará acima do nível do mar. A equação que modela isso pode ser obtida através de cálculos de equilíbrios semelhantes a aqueles vistos nos cursos básicos de física, porém, como o foco aqui é programação, a equação final já foi fornecida para você.

Então uma vez que temos todos os dados para a resolução da questão, vamos elaborar um pequeno algoritmo para a resolução da mesma:

O algoritmo para a resolução desse exercício é dado por:

  1. Entrada de dados:
  2. Criação do vetor dos coeficientes da equação de segundo grau
  3. Implementação da função zeros para encontrar o valor de h que satisfaz a igualdade.

AHHH lembrar que o r i = r 0 - e s p e s s u r a .

Passo 2

Uma vez que criamos o algoritmo basta apenas inseri-lo no Matlab, sendo assim:

Primeiramente vamos colocar a entrada de dados:

r 0 = 0.60 ;

r i = 0.588 ;

r h o b o i a = 2690

r h o a g u a = 1030

Agora que implementamos a entrada de dados vamos criar o vetor com os coeficientes da equação cúbica:

p = [ 1   - 3 * r o       0     4 * r h o b o i a r h o a g u a * ( r 0 3 - r i 3 ) ]

Agora basta implementar a função roots para o cálculo dos valores de h que satisfazem a equação cúbica:

g = r o o t s p

Seu codigozinho deve estar mais ou menos assim:

Executando o código na sua janela de command window deve mostrar a seguinte resposta:

Analisando as respostas vemos que tanto a última quanto a primeira raiz não tem sentido físico, a última nos remete a um raio negativo, algo fisicamente sem sentido.

Já a primeira raiz nos dá um valor de raio maior que o raio do próprio cilindro, o que também não tem um sentido físico.

Então só resta que o valor de h seja aproximadamente 0.2971 cm.

Resposta

h = 0.2971   c m

Exercício Resolvido #5

Um tanque de combustível de aço inoxidável possui o diâmetro externo de 40   c m e comprimento de 70   c m . As espessuras laterais e da base do cilindro valem x. Determine o valor de x considerando que a massa do tanque é 18   k g . A densidade do aço inoxidável é 7920   k g / m 3   .

Passo 1

A questão em si pede para calcularmos o valor da espessura de um cilindro que vai ser utilizado como reservatório a partir dos dados informados na questão.

Para uma primeira análise precisamos deduzir a expressão que vai permitir o cálculo dessa espessura, utilizando a fórmula da massa específica temos que:

ρ = M V

Onde M é a massa e V é o volume do reservatório, o Volume de uma casca cilíndrica por sua vez pode ser calculado através da seguinte fórmula:

V = π * r 2 2 - r 1 2 * h = π * r 2 2 - x 2 * h

Logo a expressão final se torna:

ρ = M π * r 2 2 - x 2 * h

Que isolando os termos temos:

- x 2 + r 2 2 - M π * h *   ρ = 0

Uma vez que já temos a função que vai modelar a física do processo, vamos montar o algoritmo para a solução do problema.

Algoritmo para a resolução desse exercício é dado por:

  1. Entrada de dados:
  2. Criação do vetor dos coeficientes da equação de segundo grau
  3. Implementação da função zeros para encontrar o valor de x que satisfaça a igualdade.

Passo 2

Uma vez que criamos o algoritmo basta apenas inseri-lo no Matlab, sendo assim:

Primeiramente vamos colocar a entrada de dados tudo no SI:

r 2 = 40 E - 2 ;

M = 18

r o t a n q u e = 7.920

h = 70 E - 2

Agora que implementamos a entrada de dados vamos criar o vetor com os coeficientes da equação cúbica:

p = [ - 1       0         r 2 ^ 2 - M p i * h *   r o t a n q u e ]

Agora basta implementar a função roots para o cálculo dos valores de h que satisfazem a equação cúbica:

g = r o o t s p

Seu codigozinho deve estar mais ou menos assim:

Executando o código na sua janela de command window deve mostrar a seguinte resposta:

Analisando as respostas podemos ver que a raiz negativa não oferece sentido físico algum, uma vez que, nos remete a um raio negativo.

Sendo assim, só nos resta que o diâmetro interno deve ser de aproximadamente 0.3987 metros.

Resposta

r i = 0.3987   m

Exercício Resolvido #6

Dividindo-se o polinômio P x = 2 * x 3 - 3 * x 2 + 8 x + 3 por um outro polinômio S ( x ) , obtém-se um quociente Q x = 2 x - 1 e um resto R x = 3 x + 5 .

Quem é a S ( x ) ?

Passo 1

Opa galerinha, aqui estamos em um exercício de divisão de polinômios.

O problema deseja encontrar um polinômio s x que segundo o enunciado é o resultado da seguinte operação:

P ( x ) S ( x ) = Q x + R x S ( x )

Isolando o polinômio S ( x ) temos a seguinte equação polinomial:

S x = P x - R ( x ) Q ( x )

Onde essa equação mostra que o exercício é uma aplicação das operações de polinômio, primeiramente vamos subtrair o polinômio R x do P ( x ) e por último vamos realizar uma divisão de polinômios.

A divisão do polinômio é utilizando a função d e c o n v cuja sintaxe vai ser explicada um pouco para frente junto com exercício para ficar beeeem mais claro.

Como é uma questão de operação de polinômios a primeira coisa que precisamos realizar é a implementação dos vetores com os coeficientes dos polinômios.

Depois iremos realizar a subtração entre os polinômios e por últimos iremos utilizar a função d e c o n v para no final analisar a resposta final.

Passo 2

Aqui vamos primeiramente implementar os vetores com os coeficientes dos polinômios.

P = [ 2         - 3           8             3 ]

Analisando o enunciado vemos que o polinômio P x é de grau 3, enquanto o R ( x ) é de grau 1.

Então precisamos completar o polinômio de grau 1 até ele chegar no grau 3, inserindo zeros nos coeficientes de ordem superior.

Então nosso polinômio de grau 1 pode ser escrito da seguinte forma:

R = 0       0       3     5

Realizando a operação de subtração temos:

g = P - R

Implementando tudo no Matlab, temos:

Agora precisamos realizar a divisão do polinômio formado pelos coeficientes do vetor g pelo polinômio Q .

Para isso vamos utilizar a função deconv, onde a sua sintaxe é a seguinte:

q     r e s t o = d e c o n v ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

Onde a função d e c o n v gera duas saídas, o quociente e o resto da divisão.

E suas entradas precisam de dois argumentos, o primeiro argumento é o numerador obrigatoriamente que no nosso caso é o g . Já o segundo argumento é o denominador que no nosso caso se torna o Q que corresponde ao vetor:

Q = [ 2       - 1 ]

Implementando tudo no Matlab temos:

Resposta

Sendo assim, o polinômio S ( x ) se torna

S x = x 2 - x + 2

Exercício Resolvido #7

Se R ( x ) é o resto da divisão do polinômio P x = x 4 - 3 x 3 + 2 x - 3 pelo polinômio D x = x + 1 , então o valor de R ( x ) é?

Passo 1

Para resolver essa questão vamos precisar lembrar da formulazinha da divisão de polinômios, que é dada por:

P ( x ) D ( x ) = Q x + R x D ( x )

Ou seja, nosso problema aqui se resume a uma divisão de dois polinômios.

Para resolver qualquer questão de polinômios o tópico mais importante é a inserção dos vetores de coeficientes do polinômio no Matlab.

Uma vez que fazemos isso vamos realizar a operação de divisão utilizando a função d e c o n v que é uma função própria para a operação de divisão de polinômios.

Passo 2

Agora que sabemos o passo a passo da resolução, vamos implementar as informações da questão no Matlab.

Primeiramente vamos implementar os vetores dos coeficientes dos polinômios D   e   Q para realizar a operação de divisão posteriormente.

D = [ 1         1 ]

Q = [ 1     - 3       0         2     - 3 ]

Na hora de implementar o vetor dos coeficientes do polinômio Q nós colocamos um elemento a mais que é o 0 .

Esse elemento surge pois no polinômio original não aparece o x 2 logo colocamos o elemento 0 no lugar que ele ocuparia.

Para a realização da divisão vamos utilizar a função deconv, onde a sua sintaxe é a seguinte:

q     r e s t o = d e c o n v ( n u m e r a d o r , d e n o m i n a d o r )

Onde a função d e c o n v gera duas saídas, o quociente e o resto da divisão.

E suas entradas precisam de dois argumentos, o primeiro argumento é obrigatoriamente o numerador que no nosso caso é o Q . Já o segundo argumento é o denominador que no nosso caso se torna o D.

Implementando tudo no Matlab temos:

Executando o código temos:

Resposta

O Resto da divisão de polinômios corresponde a um polinômio constante igual a -1.

Exercício Resolvido #8

Dividindo o polinômio f ( x ) por x 2 + x o quociente q x = x 2 - x - 2 e o resto r x = 7 x - 1 .

Com esses dados utilize o Matlab e obtenha a f x .

Passo 1

Opa galerinha, aqui estamos em um exercício de divisão de polinômios.

O problema deseja encontrar um polinômio f x que segundo o enunciado é o resultado da seguinte operação:

f x x 2 + x = q x + R x x 2 + x

Logo multiplicando toda a equação pelo x 2 + x , temos:

f x = q x * x 2 + x + R ( x )

Ou seja, o problema se torna basicamente uma multiplicação de polinômios que pode ser resolvido utilizando a função c o n v que é utilizada para realizar a multiplicação dos polinômios.

Primeiramente para a resolução da questão precisamos implementar os vetores dos coeficientes dos polinômios.

Com isso podemos utilizar a função c o n v e encontrar a f ( x ) .

Sendo assim, o algoritmo se torna:

1-Implementar o vetor dos coeficientes dos polinômios.

2-utilizar a função conv para realizar as operações

3-Analisar o resultado.

Passo 2

Agora que criamos nosso algoritmo vamos implementá-lo no Matlab.

Primeiramente vamos começar inserindo os vetores dos coeficientes dos polinômios q ( x ) e x 2 + x

q = 1   - 1         - 2

d = 1     1       0

Aqui o zero aparece pois não existe o coeficiente linear, logo colocamos o zero para indicar que existe apenas o termo quadrático e linear no x.

Realizando a multiplicação temos:

g = c o n v q , d

A saída da função conv é o produto dos polinômios, enquanto sua entrada é os vetores com os coeficientes dos polinômios.

A ordem de inserção nessa função não importa, ou seja:

c o n v q , d = c o n v ( d , q )

Digitando tudo certinho no command windows do Matlab deve gerar algo assim:

Ou seja, temos um polinômio de grau 4, para somar com o resto precisamos completar o polinômio do resto até ele atingir o grau 4.

Pois só podemos somar vetores se tiver o mesmo número de elementos, colocando 0 até chegar no grau 4 temos que o resto se torna:

r x = [ 0       0         0         7       - 1 ]

Realizando a soma o polinômio f ( x ) se torna:

Resposta

Sendo assim o polinômio final é:

f x = x 4 - 3 x 2 + 5 x - 1