Operações com Polinômios (Zeros, Soma, Produto e Divisão de Polinômios)

A questão é uma aplicação direta da função deconv.

Porque ambas as alternativas estão procurando as divisões de dois polinômios e no Matlab a função deconv serve especificamente para realizar a operação de divisão entre dois polinômios.

Então primeiramente precisamos inserir os vetores dos coeficientes de cada polinômio e depois chamar a função deconv, pois devemos sempre ter em mente que o Matlab trabalha com vetores e quando inserimos os coeficientes dos polinômios na forma de um vetor é o mesmo de estar inserindo o polinômio.

Para finalizar basta criar uma saída de dados organizada para sabermos os resultados da divisão de polinômio.

Então o algoritmo fica algo mais ou menos assim:

1-Entrada de dados (inserir os vetores dos polinômios)

2-Implementação da função deconv

Transformando o algoritmo em programação no Matlab vamos inserir os vetores correspondente aos coeficientes dos polinômios envolvidos na letra a e b. Os elementos de cada vetor são os coeficientes do polinômio, então fica assim:

Lembrando de um detalhezinho, como o não aparece no denominador é o mesmo que ter o coeficiente nulo, então devemos colocar o vetor do seu coeficiente da seguinte forma:

E os demais elementos podemos escrever apenas inserindo os coeficientes dos polinômios normalmente.

Lembrando que a saída da função deconv é um vetor então devemos colocar as variáveis de saída dentro de um colchete.

Agora iremos gerar a divisão de polinômios da letra a:

E agora iremos gerar a divisão da letra b

Se você digitou tudo certinho deverá mostrar algo mais ou menos assim para você:

Executando o código, na sua janela do command Window deve estar mostrando algo assim:

A questão fala de um reservatório onde as extremidades são calotas esféricas e o corpo é um cilindro, ou seja, é formado por um cilindro e duas semi-esferas. Sendo assim o volume total do reservatório é dado por:

A questão também nos dá uma informação importante que o Raio do cilindro é de e o comprimento do cilindro de de

Então a fórmula para o cálculo do volume se torna:

Sendo assim a equação final fica;

Então a questão pede para utilizar essa equação final e encontrar um valor de fisicamente válido, para isso vamos utilizar da função para encontrar um valor de para que a equação cúbica acima seja nula.

Dado que temos que a equação cúbica se torna:

Logo o vetor dos coeficientes da equação cúbica se torna (não esqueça dos coeficientes nulos do e do )

Agora iremos implementar a função roots:

Se colocou tudo certinho seu programa no Matlab deve estar algo mais ou menos assim:

Executando esse mini código na sua janela de command Window deve mostrar algo assim:

De todas as possíveis respostas a única que é fisicamente aceitável é a resposta de

Pois as demais respostas estão no domínio dos complexos o que não gera uma resposta fisicamente significativa.

A questão aqui é simples, o foco é apenas fazer com que você pratique a operação básica de soma e subtração de polinômios.

Bem, aqui primeiramente você precisa perceber que os polinômios são de ordem diferentes, logo você precisa completar os coeficientes do polinômio de menor ordem com zeros até ele chegar na ordem 5.

Uma vez que você percebeu isso, basta criarmos o algoritmo de resolução da questão para termos uma ideia do passo a passo dos cálculos envolvidos aqui.

Sendo assim o algoritmo dessa questão se torna:

1-Entrada de dados (Implementa-se os vetores com os coeficientes dos polinômios)

2-Realiza a soma entre os polinômios

3-Realiza a subtração entre os polinômios

Transformando o algoritmo em programação no Matlab vamos inserir os seguintes vetores correspondente aos polinômios envolvidos na questão. O vetor de um polinômio é formado pelos seus coeficientes.

Então a matriz dos coeficientes fica:

Agora iremos implementar as operações de soma e subtração:

O codigozinho no Matlab deve ficar algo mais ou menos assim:

Executando o código, na sua janela do command Window deve estar mostrando algo assim:

A questão pede para calcularmos a posição de equilíbrio que a bóia estará acima do nível do mar. A equação que modela isso pode ser obtida através de cálculos de equilíbrios semelhantes a aqueles vistos nos cursos básicos de física, porém, como o foco aqui é programação, a equação final já foi fornecida para você.

Então uma vez que temos todos os dados para a resolução da questão, vamos elaborar um pequeno algoritmo para a resolução da mesma:

O algoritmo para a resolução desse exercício é dado por:

1. Entrada de dados:
2. Criação do vetor dos coeficientes da equação de segundo grau
3. Implementação da função zeros para encontrar o valor de h que satisfaz a igualdade.

AHHH lembrar que o

Uma vez que criamos o algoritmo basta apenas inseri-lo no Matlab, sendo assim:

Primeiramente vamos colocar a entrada de dados:

Agora que implementamos a entrada de dados vamos criar o vetor com os coeficientes da equação cúbica:

Agora basta implementar a função roots para o cálculo dos valores de h que satisfazem a equação cúbica:

Seu codigozinho deve estar mais ou menos assim:

Executando o código na sua janela de command window deve mostrar a seguinte resposta:

Analisando as respostas vemos que tanto a última quanto a primeira raiz não tem sentido físico, a última nos remete a um raio negativo, algo fisicamente sem sentido.

Já a primeira raiz nos dá um valor de raio maior que o raio do próprio cilindro, o que também não tem um sentido físico.

Então só resta que o valor de h seja aproximadamente 0.2971 cm.

A questão em si pede para calcularmos o valor da espessura de um cilindro que vai ser utilizado como reservatório a partir dos dados informados na questão.

Para uma primeira análise precisamos deduzir a expressão que vai permitir o cálculo dessa espessura, utilizando a fórmula da massa específica temos que:

Onde M é a massa e V é o volume do reservatório, o Volume de uma casca cilíndrica por sua vez pode ser calculado através da seguinte fórmula:

Logo a expressão final se torna:

Que isolando os termos temos:

Uma vez que já temos a função que vai modelar a física do processo, vamos montar o algoritmo para a solução do problema.

Algoritmo para a resolução desse exercício é dado por:

1. Entrada de dados:
2. Criação do vetor dos coeficientes da equação de segundo grau
3. Implementação da função zeros para encontrar o valor de x que satisfaça a igualdade.

Uma vez que criamos o algoritmo basta apenas inseri-lo no Matlab, sendo assim:

Primeiramente vamos colocar a entrada de dados tudo no SI:

Agora que implementamos a entrada de dados vamos criar o vetor com os coeficientes da equação cúbica:

Agora basta implementar a função roots para o cálculo dos valores de h que satisfazem a equação cúbica:

Seu codigozinho deve estar mais ou menos assim:

Executando o código na sua janela de command window deve mostrar a seguinte resposta:

Analisando as respostas podemos ver que a raiz negativa não oferece sentido físico algum, uma vez que, nos remete a um raio negativo.

Sendo assim, só nos resta que o diâmetro interno deve ser de aproximadamente metros.

Opa galerinha, aqui estamos em um exercício de divisão de polinômios.

O problema deseja encontrar um polinômio que segundo o enunciado é o resultado da seguinte operação:

Isolando o polinômio temos a seguinte equação polinomial:

Onde essa equação mostra que o exercício é uma aplicação das operações de polinômio, primeiramente vamos subtrair o polinômio do e por último vamos realizar uma divisão de polinômios.

A divisão do polinômio é utilizando a função cuja sintaxe vai ser explicada um pouco para frente junto com exercício para ficar beeeem mais claro.

Como é uma questão de operação de polinômios a primeira coisa que precisamos realizar é a implementação dos vetores com os coeficientes dos polinômios.

Depois iremos realizar a subtração entre os polinômios e por últimos iremos utilizar a função para no final analisar a resposta final.

Aqui vamos primeiramente implementar os vetores com os coeficientes dos polinômios.

Analisando o enunciado vemos que o polinômio é de grau 3, enquanto o é de grau 1.

Então precisamos completar o polinômio de grau 1 até ele chegar no grau 3, inserindo zeros nos coeficientes de ordem superior.

Então nosso polinômio de grau 1 pode ser escrito da seguinte forma:

Realizando a operação de subtração temos:

Implementando tudo no Matlab, temos:

Agora precisamos realizar a divisão do polinômio formado pelos coeficientes do vetor pelo polinômio

Para isso vamos utilizar a função deconv, onde a sua sintaxe é a seguinte:

Onde a função d gera duas saídas, o quociente e o resto da divisão.

E suas entradas precisam de dois argumentos, o primeiro argumento é o numerador obrigatoriamente que no nosso caso é o . Já o segundo argumento é o denominador que no nosso caso se torna o que corresponde ao vetor:

Implementando tudo no Matlab temos:

Para resolver essa questão vamos precisar lembrar da formulazinha da divisão de polinômios, que é dada por:

Ou seja, nosso problema aqui se resume a uma divisão de dois polinômios.

Para resolver qualquer questão de polinômios o tópico mais importante é a inserção dos vetores de coeficientes do polinômio no Matlab.

Uma vez que fazemos isso vamos realizar a operação de divisão utilizando a função que é uma função própria para a operação de divisão de polinômios.

Agora que sabemos o passo a passo da resolução, vamos implementar as informações da questão no Matlab.

Primeiramente vamos implementar os vetores dos coeficientes dos polinômios e para realizar a operação de divisão posteriormente.

Na hora de implementar o vetor dos coeficientes do polinômio nós colocamos um elemento a mais que é o .

Esse elemento surge pois no polinômio original não aparece o logo colocamos o elemento 0 no lugar que ele ocuparia.

Para a realização da divisão vamos utilizar a função deconv, onde a sua sintaxe é a seguinte:

Onde a função d gera duas saídas, o quociente e o resto da divisão.

E suas entradas precisam de dois argumentos, o primeiro argumento é obrigatoriamente o numerador que no nosso caso é o . Já o segundo argumento é o denominador que no nosso caso se torna o D.

Implementando tudo no Matlab temos:

Executando o código temos:

Opa galerinha, aqui estamos em um exercício de divisão de polinômios.

O problema deseja encontrar um polinômio que segundo o enunciado é o resultado da seguinte operação:

Logo multiplicando toda a equação pelo , temos:

Ou seja, o problema se torna basicamente uma multiplicação de polinômios que pode ser resolvido utilizando a função que é utilizada para realizar a multiplicação dos polinômios.

Primeiramente para a resolução da questão precisamos implementar os vetores dos coeficientes dos polinômios.

Com isso podemos utilizar a função e encontrar a .

Sendo assim, o algoritmo se torna:

1-Implementar o vetor dos coeficientes dos polinômios.

2-utilizar a função conv para realizar as operações

3-Analisar o resultado.

Agora que criamos nosso algoritmo vamos implementá-lo no Matlab.

Primeiramente vamos começar inserindo os vetores dos coeficientes dos polinômios e

Aqui o zero aparece pois não existe o coeficiente linear, logo colocamos o zero para indicar que existe apenas o termo quadrático e linear no x.

Realizando a multiplicação temos:

A saída da função conv é o produto dos polinômios, enquanto sua entrada é os vetores com os coeficientes dos polinômios.

A ordem de inserção nessa função não importa, ou seja:

Digitando tudo certinho no command windows do Matlab deve gerar algo assim:

Ou seja, temos um polinômio de grau 4, para somar com o resto precisamos completar o polinômio do resto até ele atingir o grau 4.

Pois só podemos somar vetores se tiver o mesmo número de elementos, colocando até chegar no grau 4 temos que o resto se torna:

Realizando a soma o polinômio se torna: