EDOs no SIMULINK

Para resolver uma equação diferencial pelo SIMULINK, a dica é “isolar” a derivada da EDO. Por isso, vamos rearranjar a EDO para:

Desta forma, conseguimos fazer aquele raciocínio: “a derivada é igual a quê?” e descobrimos onde pôr o bloco “Integrator” para obter . Além do mais, isso ajuda a identificar qual o primeiro bloco que colocaremos no modelo, que muito provavelmente virá da biblioteca “Source”.

A resposta do exercício será um gráfico de , por isso, usaremos no modelo um bloco “Scope”.

Olhando a EDO rearranjada, sabemos é igual a , por isso, vamos começar modelando essa diferença, o lado direito da equação. Em um novo modelo, insira um bloco “Constant” e faça com que ele seja igual a . Em seguida, insira um bloco “Add” e altere o parâmetro “List of signs” (destacado abaixo), para que ambas as entradas de “Add” tenham um sinal negativo, para fazermos .

O objetivo é que a saída de “Add” seja igual a . E quem é ? É ! Logo, é à direita de “Add” que incluiremos um bloco “Integrator”, que nos dará . Para isto, vá à biblioteca “Continuous”, insira um bloco “Integrator” ao modelo e conecte sua entrada à saída de “Add”, como na figura abaixo:

Não sei se você reparou, mas eu anotei ali no modelo, acima da flecha entre “Add” e “Integrator”, um , pra dizer que aquele sinal é a derivada de . Você pode fazer isso clicando no botão “Annotation” (destacado em azul acima), na lateral esquerda da janela onde construímos os modelos, e em seguida clicando sobre o lugar onde você quer fazer a anotação. Daí, é só digitar o que você quiser.

Esse é um jeito bom de não se perder nos diagramas de blocos das EDOs.

Vamos alterar a condição inicial para , acessando as propriedades de “Integrator” e mudando o parâmetro “Initial Condition” de para :

A saída de “Integrator” será , a solução da nossa EDO. Como queremos gerar o gráfico dela, vamos inserir um bloco “Scope”. Conecte a saída de “Integrator” a entrada de “Scope”:

Agora que temos , podemos criar a componente da expressão . Para isto, insira um bloco “Gain”, da biblioteca “Math Operations”, altere seu ganho para e conecte sua entrada ao sinal saindo de “Integrator”. Você fará isto clicando sobre a entrada de “Gain” e arrastando. Aparecerá um flecha vermelha:

Conecte a extremidade livre à seta entre “Integrator” e “Scope”. Desta forma, vai para “Scope” e “Gain” simultaneamente. Em seguida, conecte a saída de “Gain” à entrada disponível de “Add”. Você estará levando para fazer a diferença :

Pronto! A EDO está modelada no SIMULINK e podemos obter sua solução, em forma de gráfico, rodando o programa.

O exercício pede encontrarmos solucionado a EDO que modela o curcuito RC usando o SIMULINK. Uma dica para resolver uma EDO pelo SIMULINK é deixar a derivada isolada no lado esquerdo da equação. Por isso, vamos rearranjar a EDO para:

Com isso, identificamos a expressão que é igual à derivada, montamos o diagrama de blocos que a representa e, na saída desse diagrama, incluímos um bloco “Integrator” para ter . Este será conduzido a um bloco “Scope”, para vermos seu gráfico.

Sabendo que , e , a EDO se torna:

Logo, é igual a . Vamos começar modelando essa diferença. Em um novo modelo, insira um bloco “Constant” e faça com que ele seja igual a . Em seguida, insira um bloco “Add” e altere o parâmetro “List of signs” (destacado abaixo) para , de forma que “Add” tenha uma entrada positiva e outra negativa. Conecte “Constant” à entrada positiva:

A saída de “Add” será igual a , que é igual a . Por isso, colocaremos à direita de “Add” um bloco “Integrator”, para obter . Para isto, vá à biblioteca “Continuous”, insira um bloco “Integrator” ao modelo e conecte sua entrada à saída de “Add”, como na figura abaixo:

Precisamos mudar a condição inicial para . Acesse as propriedades de “Integrator” e altere o parâmetro “Initial Condition” de para :

A saída de “Integrator” será , a solução pedida pelo enunciado. Para gerar o gráfico dela, insira um bloco “Scope” e conecte a saída de “Integrator” à entrada de “Scope”:

Leve para a entrada negativa de “Add”, para concluir a diferença . Para isto, clique sobre a entrada negativa de “Add” e arraste. Aparecerá uma flecha vermelha tracejada, cuja extremidade livre você deve conectar à seta entre “Integrator” e “Scope”:

Pronto! Já montamos o diagrama de blocos que nos dará . Paa ver a curva de , execute o programa e clique duas vezes sobre o bloco “Scope”.

Neste exercício, vamos solucionar a EDO usando o SIMULINK e vamos comparar a solução com a solução aproximada.

Para resolver uma equação diferencial pelo SIMULINK, a dica é “isolar” a derivada da EDO. Por isso, vamos rearranjar a EDO para:

Desta forma, podemos imaginar: “a derivada é igual a quê?”, localizando onde colocaremos o bloco “Integrator” que nos dará .

Vamos enviar a solução da EDO para um bloco “To Workspace”, para que possamos plotar o resultado junto com a solução aproximada usando o Command Window do MATLAB.

Sabemos que a derivada é igual a , por isso, vamos começar montando o lado direito da equação. Para criar o termo , vamos precisar de dois blocos novos: um bloco “Clock” e um bloco “Trigonometric Function”.

Vá à biblioteca “Sources”, encontre o bloco “Clock” e insira-o em um novo modelo. O bloco “Clock” fornece o tempo de simulação, de forma que podemos usá-lo para construir funções dependentes do tempo. Em outras palavras, ele representará o de .

O bloco “Trigonometric Function” pertence à biblioteca “Math Operations” e ele calcula a função trigonométrica de seu sinal de entrada. Insira um desses blocos no modelo e conecte sua entrada à “Clock”:

Para transformar o “Trigonometric Function” em uma função tangente, clique duas vezes sobre ele para acessar suas propriedades. A propriedade “Function”, destacada abaixo, contém uma lista de funções trigonométricas. Selecione a opção tan e clique em “OK”.

Note que o bloco “Trigonometric Function” mudou de cara:

Para fazer a diferença , insira um bloco “Add” e altere o parâmetro “List of signs” (destacado abaixo), para que uma das entradas de “Add” tenha um sinal negativo, para receber o . Conecte a saída de “Trigonometric Function” à entrada com sinal de “Add”:

Faremos com que a saída de “Add” seja igual a . E é igual a o quê? A ! E é que devemos integrar para encontrar . Por isso, insira um bloco “Integrator”, pertencente à biblioteca “Continuous”, à direita de “Add” e conecte sua entrada à saída de “Add”, como na figura abaixo:

Como a condição inicial da EDO é nula, não precisamos mexer nos parâmetros de “Integrator”, pois o padrão do bloco é ter condição inicial nula.

A saída de “Integrator” será , a solução da nossa EDO. Como queremos gerar o gráfico dela no MATLAB (pois ficará mais fácil de plotar a solução encontrada no SIMULINK com a solução aproximada), vamos inserir um bloco “To Workspace”. Este bloco serve para levar para o “Workspace” do MATLAB os resultados da simulação, permitindo manipulá-los no “Command Window”. Conecte a saída de “Integrator” a entrada de “To Workspace”:

Se você quiser, você pode alterar o nome da variável que receberá o resultado da simulação no “Workspace” do MATLAB, clicando duas vezes sobre o bloco “To Workspace” e mexendo na propriedade “Variable name”. Eu fiz com que minha variável se chamasse .

Agora que temos , podemos fechar nosso diagrama, conectando a entrada com sinal de de “Add” com a seta entre “Integrator” e “To Workspace”:

Troque o tempo de simulação para e rode o programa. Vá ao MATLAB e olhe o “Workspace”. Você verá que apareceram duas variáveis: e , que estão aí graças ao bloco “To Workspace”. é um vetor que contém o tempo de simulação, indo de a . Já contém o resultado da simulação do SIMULINK.

Para gerar o gráfico com a solução da EDO obtida pelo SIMULINK e a solução aproximada, abra um script novo no MATLAB e digite as seguintes linhas de código:

Na primeira linha, criamos um vetor igual ao vetor .

Na segunda linha, calculamos para cada elemento do vetor e armazenamos o resultado no vetor .

Finalmente, na última linha, plotamos as curvas da solução obtida pelo SIMULINK e da solução aproximada. Execute o script e você terá o gráfico.

Quando você executar o programa, o MATLAB vai te pedir para salvar o script. Se for salvá-lo na mesma pasta onde está o arquivo do seu modelo SIMULINK, dê um nome diferente, para não haver conflito.

Usaremos o SIMULINK para encontrar a solução da equação diferencial do enunciado e plotar seu gráfico. A solução é e corresponde ao nível de um tanque em função do tempo, em horas.

A equação diferencial dada pelo enunciado já está com a derivada isolada no lado esquerdo, facilitando o raciocínio: “a derivada é igual a o quê?”, nos ajudando a identificar onde pôr o boco “Integrator” que nos dará . A saída de “Integrator” será conduzida a um bloco “Scope”, que nos dará o gráfico de .

Vamos atualizar a equação diferencial com as constantes dadas no enunciado:

Vemos que a derivada é igual a , por isso, vamos começar modelando o lado direito da equação. Em novo modelo do SIMULINK, insira um bloco “Step” (representando ) e um bloco “Add”. Para o bloco “Step”, mude o parâmetro “Final value” para (destacado), para ele ter o valor da vazão de entrada.

No bloco “Add”, altere o parâmetro “List of signs” (destacado abaixo), para que uma das entradas de “Add” tenha um sinal negativo, para receber o mais pra frente. Conecte a saída de “Step” à entrada com sinal de “Add”:

A saída de “Add” será a diferença . Para que esta diferença seja igual a , ele deve ser multiplicada por . Por isso, vamos colocar um bloco “Gain” à direita de “Add”, fazer com que seu ganho seja igual a e conectar sua entrada à saída de “Add”:

A saída de “Gain” será a derivada , por isso, vamos inserir um bloco “Integrator” à sua direita e conectá-los. Altere o parâmetro “Initial Condition” de “Integrator” para :

A saída de “Integrator” é a solução da equação diferencial . Para gerarmos o seu gráfico, insira um bloco “Scope” e conecte-o a “Integrator”:

Agora que temos , podemos criar o termo da diferença . Para isto, vamos usar um bloco novo, o “Sqrt”, da biblioteca “Math Operations”, que calcula a raiz quadrada de um sinal.

Insira-o no modelo e conecte sua entrada à seta entre o bloco “Integrator” e “Scope”:

Dessa forma, o sinal de vai simultaneamente para “Scope” e para “Sqrt”. “Sqrt” vai nos dar em sua saída , por isso, conecte a saída de “Sqrt” à entrada negativa do bloco “Add”, para obtermos :

O diagrama de blocos representando a equação diferencial está pronto! Para vermos o gráfico de , execute o programa. Como o enunciado não especificou o tempo da simulação, faremos com que seja o padrão de mesmo. Em seguida, clique duas vezes sobre “Scope” para ver o gráfico.

Neste exercício, resolveremos uma EDO de segunda ordem, correspondendo à equação que calcula a aceleração pela 2ª lei de Newton. Substituindo e na EDO, temos:

Na letra do exercício, resolveremos a EDO acima, que nos dará , cujo gráfico iremos plotar usando um bloco “Scope”.

A partir do diagrama construído para resolver a letra , faremos a letra , pois o diagrama nos permitirá calcular as energias potencial e cinética do sistema. Ambas as energias também serão plotadas usando um bloco “Scope”.

Vamos começar a solucionar a EDO de segunda ordem. O enunciado no disse que e , logo:

Com essas informações podemos construir um diagrama inicial, inserindo em um novo modelo dois blocos “Integrator” e um bloco “Scope”, da seguinte forma:

O primeiro “Integrator” receberá um sinal representando a aceleração , fará sua integração e nos dará a velocidade . entrará em um segundo bloco “Integrator” para obtermos , que é conduzido a um bloco “Scope” para plotarmos seu gráfico mais pra frente.

O enunciado diz que o bloco parte do repouso, indicando que a velocidade inicial é . Por isso, não precisamos alterar o parâmetro “Initial condition” do “Integrator” que recebe , pois o padrão do bloco “Integrator” é ter condição inicial nula.

Contudo, este não é o caso do segundo “Integrator”, que recebe o sinal de velocidade . O enunciado diz que o bloco parte da posição , por isso, temos que alterar o parâmetro “Initial condition” do “Integrator” que integra a velocidade e nos dá a posição (destacado abaixo):

Com esse diagrama inicial, podemos partir para a EDO de segunda ordem para obtermos a aceleração . Insira no modelo um bloco “Gain” e altere seu ganho para :

Queremos criar o termo , por isso, conecte a entrada de “Gain” à seta entre “Integrator1” e “Scope”:

A saída de “Gain” será . E quam é igual a ? A aceleração ! Por isso, conecte a saída de “Gain” à entrada do primeiro “Integrator”, que ainda está vazia:

O diagrama que nos dá a solução da letra a do exercício está pronto! Com ele, podemos obter o gráfico de , que é a solução de . Para isto, altere o tempo de simulação de para , rode o programa e clique duas vezes sobre o “Scope” para ver o gráfico:

Pronto, letra a resolvida =)

A letra b do exercício pede para gerarmos os gráficos das energias potencial e cinética. A energia potencial é dada por , com . Logo, . Para obtermos a partir do diagrama construído para resolver a letra , vamos começar obtendo Para isto, usaremos o bloco “Product”, da biblioteca “Math Operations”, e faremos com que o sinal de entre em suas duas entradas:

Para calcular , insira um bloco “Gain”, faça-o ter um ganho igual a e conecte sua entrada à saída de “Product”:

A saída do bloco “Gain1” será a energia potencial .

A energia cinética é dada por , com . Logo, . Para obtermos a partir do diagrama construído para resolver a letra , vamos começar obtendo Para isto, usaremos outro bloco “Product”, que receberá o sinal de em suas duas entradas:

Para calcular , insira outro bloco “Gain”, faça-o ter um ganho igual a e conecte sua entrada à saída de “Product1”:

A saída do bloco “Gain2” será a energia cinética .

Vamos plotar as curvas de e no mesmo gráfico, conectando as duas saídas que dão de e a cada uma das entradas de um bloco “Mux”. A saída de “Mux” se conectará a um bloco “Scope”:

Como está conectado à entrada de cima de “Mux”, sua curva será amarela. Já a curva de será rosa, pois entra na entrada na de baixo de “Mux”.

Execute o programa e você terá o gráfico de ambas as energias.

Neste exercício, vamos resolver uma EDO de segunda ordem pelo SIMULINK. Comece pela dica de isolar a derivada de maior ordem da EDO:

Desta forma, fica mais fácil identificar onde colocaremos o bloco “Integrator” (nesse caso, utilizaremos dois, pois a EDO tem uma segunda derivada) e qual bloco da biblioteca “Sources” utlizaremos para começar a construir o modelo.

O primeiro bloco “Integrator” nos dará e o segundo, , que é a solução da EDO.

Ao final, geraremos o gráfico de usando um bloco “Scope”.

Vamos começar modelando o lado direito da EDO: . O pode ser modelado por um bloco “Constant”, da biblioteca “Sources”, e as operações de subtração serão feitas por meio de um bloco “Add”.

Faça com que o bloco “Constant” seja igual a . Por padrão, o bloco “Add” possui duas entradas positivas. Altere seus parâmetros para que ele passe a ter uma entrada positiva e duas negativas, trocando o por no parâmetro “List of signs”:

Conecte “Constant” à entrada positiva de “Add”. As entradas negativas de “Add” receberão e mais para frente, por isso, a saída de “Add” será .

Para obter , insira um bloco “Integrator” e conecte a saída de “Add” à entrada deste bloco. Desta forma, estaremos integrando para gerar .

Como , não precisamos alterar o parâmetro “Initial condition” de “Integrator”, pois as condições iniciais são nulas por padrão.

Agora que temos , vamos inserir mais um bloco “Integrator” para obter . Coloque-o à direita do primeiro “Integrator” inserido e conecte-os:

Novamente, não precisamos mudar os parâmetros do segundo “Integrator” inserido, pois e por padrão as condições iniciais de “Integrator” são nulas.

Insira um bloco “Scope” e conecte sua entrada à saída de “Integrator1”, para que tenhamos o gráfico de .

Vamos terminar de modelar o lado direito da EDO: , começando por . Insira um bloco “Gain” no modelo e altere seu ganho para . Em seguida, conecte sua entrada à flecha entre os dois blocos “Integrator” (pois é ali que temos o sinal representando ) . Conecte a saída de “Gain” a uma das entradas negativas de “Add”:

Para modelar , o procedimento é igualzinho. Insira outro bloco “Gain” e mude o ganho para . Então, conecte a entrada desse “Gain” igual a à flecha conectando o bloco “Integrator1” a “Scope”, pois é onde temos o sinal de . Para finalizar o modelo, conecte a saída de “Gain1” à última entrada negativa de “Add”:

Voilà! EDO modelada! Para ver o gráfico de , basta rodar a simulação.

Neste exercício, resolveremos a EDO para encontrar usando o SIMULINK. Geraremos o gráfico de para resolver a letra a e usaremos o gráfico para responder a letra b.

Para resolver uma EDO no SIMULINK, a dica é isolar a derivada de maior ordem da EDO, logo:

Desta forma, conseguimos identificar onde colocaremos o bloco “Integrator” e qual bloco da biblioteca “Sources” podemos usar para começar a modelar a EDO.

Vamos começar modelando a diferença . Em um novo modelo do SIMULINK, insira um bloco “Constant” e faça com que seu valor seja igual a . Em seguida, insira um bloco “Add” e altere seus parâmetros, de forma que ele tenha um entrada positiva e outra negativa:

O bloco “Add” receberá o sinal de mais para frente, por isso, a saída de “Add” será .

Para termos , insira um bloco “Gain”, faça com que seu ganho seja igual a e conecte sua entrada à saída de “Add”:

A saída de “Gain” será . E quem é igual ? É ! Por isso, a saída de “Gain” será igual à derivada da nossa EDO.

Isso significa que temos que adicionar um bloco “Integrator” à direita de “Gain” e conectar a saída de “Gain” à entrada de “Integrator”. Desta forma, “Integrator” nos dará . Não esqueça de mudar o parâmetro “Initial condition” de “Integrator” de para , pois .

Para termos o gráfico de , insira um bloco “Scope” e conecte-o a “Integrator”:

Para finalizar o modelo, leve o sinal de até a entrada negativa de “Add”:

A EDO está modelada! Vamos ver o gráfico de , executando a simulação e clicando duas vezes sobre “Scope”:

Rodei a simulação para . Contudo, note que o eixo vertical do gráfico vai só até e na letra queremos saber quanto tempo o objeto demora para atingir a temperatura do líquido, isto é, . Temos que aumentar o tempo de simulação para que a curva do gráfico atinja essa temperatura. Aumente o tempo para :

Agora o eixo vertical vai até , pode ser que agora encontremos a temperatura de .

Para vermos os valores da curva, na janela do “Scope”, clique em “Try Time Scope” e o use o “Cursor Measurements”:

Leve o cursor até o início da curva, onde teremos (destacado em amarelo abaixo). Arraste o cursor até o final da curva para vermos a temperatura do objeto em (destacado em vermelho abaixo).

Note que e queremos saber o tempo que demora para que o objeto tenha um temperatura igual a . Por isso, devemos aumentar o tempo de simulação até que consigamos que o cursor nos retorne um valor igual ou muito próximo de .

Sem fechar a janela do “Scope” com o gráfico e os cursores, aumente o tempo de simulação e rode o programa novamente. O gráfico se atualizará automaticamente. Faça esse procedimento até que o cursor retorne .

Eu fui aumentando o tempo de simulação até , quando finalmente encontrei o valor (destacado em vermelho abaixo):

O tempo que o objeto demora para que sua temperatura atinja é dado pelo campo destacado em azul acima: .

Neste exercício, resolveremos uma equação diferencial de 2ª ordem não-linear usando o SIMULINK. Apesar de a equação ser não-linear, a dica de isolar a derivada de maior ordem ainda está valendo:

Desta forma, identificamos onde colocaremos os dois blocos “Integrator” que precisamos para encontrar (usaremos um bloco “Integrator” para integrar e obter ; e outro “Integrator” que receberá o , o integrará e nos dará ) e por onde começamos a construir o diagrama de blocos.

O enunciado pede para plotarmos os gráficos da posição, da velocidade e da força, ou seja, os gráficos de , e , respectivamente. Para gerarmos os gráficos pedidos pelo enunciado, usaremos três blocos “Scope”, uma para cada gráfico.

Vamos começar o diagrama pelo lado direito da equação: , mais especificamente por . é um degrau de amplitude , por isso, em um modelo novo, insira um bloco “Step” e altere sua propriedade “Final value” para .

Em seguida, insira um bloco “Add” e troque sua propriedade “List of signs” de por , para que “Add” tenha três entradas, uma com sinal as outras duas com sinal . Conecte o “Step” à entrada positiva de “Add”:

As outras duas entradas de “Add” receberão e , portanto, a saída de “Add” será igual a , que é igual a . Logo, a saída de “Add” será e é nele que devemos conectar um bloco “Integrator”.

Insira um bloco “Integrator” no modelo e conecte sua entrada à saída de “Add”:

Este bloco “Integrator” integrará e nos dará . Como , não precisamos alterar a propriedade “Initial condition” de “Integrator”, pois por padrão ela já é igual a .

Para obter , insira outro bloco “Integrator” e conecte sua entrada à saída do primeiro bloco “Integrator”. Em outras palavras, o segundo bloco “Integrator” receberá , o integrará e fornecerá . Como , mude a propriedade “Initial condition” do “Integrator” que calculará (destacado abaixo) para esse valor:

Para gerar o gráfico de , insira um bloco “Scope” e conecte-o ao “Integrator” que calcula a posição :

Precisamos terminar de modelar o lado direito da equação: . Vamos começar por . Para calcular , insira um bloco “Product” e faça com que suas duas entradas recebam , conectando cada entrada à flecha entre os dois blocos “Integrator” (que corresponde ao sinal de ):

Em seguida, insira um bloco “Gain”, faça com que seu ganho seja igual a e conecte sua entrada à saída de “Product”. Conecte a saída de “Gain” com uma das entradas negativas de “Add”. Dessa forma, já temos :

Vamos modelar o termo . Para calcular , usaremos o bloco “Math Function”, da biblioteca “Math Operations”:

Este bloco aplica uma função matemática em sua entrada e retorna o resultado. Ele inclui funções como exponenciação, módulo e, o que interessa pra gente, logaritmo. Para calcular , conecte a entrada do bloco “Math Function” à flecha entre “Integrator1” e “Scope” (que representa o sinal de ) e altere a propriedade “Function” do bloco “Math Function” para :

No SIMULINK, assim como no MATLAB, o logaritmo natural, isto é, o , é representado por . Quando queremos calcular o logaritmo na base de algum número, usamos (repare que tem essa opção também no prâmetro “Function”).

Quando você fizer a alteração, note que o bloco “Math Funtion” muda de cara, passando a ter um dentro dele.

Para terminar o termo , insira outro bloco “Gain” e faça com que seu ganho seja igual a . Em seguida, conecte a entrada de “Gain” com ganho à saída de “Math Function” e sua saída, à entrada negativa restante de “Add”:

Pronto! A equação diferencial está modelada!

No diagrama atual, conseguimos apenas gerar o gráfico de . Para plotar e , insira mais dois blocos “Scope” e conecte um ao sinal de e outro ao sinal de :

O enunciado pediu para simularmos o sistema de a , que já é o tempo de simulação padrão do SIMULINK. Por isso, não precisamos alterá-lo e já podemos executar o programa para vermos os gráficos de , e .