Funções de Transferência

O exercício pede para entrarmos no MATLAB com a função de transferência dada o enunciado. Para isto, usaremos a função do MATLAB.

Como a função de transferência é em função de e o enunciado não especifica mais nada, isso quer dizer que ela foi obtida por meio da transformada de Laplace a partir de funções no domínio de tempo contínuo.

Antes de começar o código, vamos relembrar a sintaxe da função :

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

Abra um script novo no MATLAB e crie dois vetores, um contendo os coeficientes de e outro contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

O vetor contém os coeficientes do numerador e o vetor , do denominador.

Em seguida, utilize a função para criar a função de transferência no MATLAB:

A função de transferência é armazenada na variável , isto é, é igual a .

Ao executar o programa, você terá implementado no MATLAB. Você pode vê-la pedindo ao MATLAB para imprimir no Command Window.

O exercício pede para definirmos no MATLAB a função de transferência de um circuito RLC. Para isto, entraremos com os parâmetros do circuito (, e ) e em seguida usaremos a função do MATLAB.

Como a função de transferência é em função de e o enunciado não especifica mais nada, isso quer dizer que ela foi obtida por meio da transformada de Laplace a partir de funções no domínio de tempo contínuo.

Primeiramente, vamos entrar com parâmetros do circuito RLC dados pelo enunciado. Em um novo script do MATLAB, digite:

Agora devemos criar as entradas da função para definirmos no MATLAB . Vamos relembrar a sintaxe da função :

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Para , o polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

No nosso script, vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios. Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente () ao de menor expoente (, pois ele multiplica ):

Em seguida, utilize a função para criar a função de transferência do circuito RLC no MATLAB:

A função de transferência é armazenada na variável , isto é, é igual a .

Ao executar o programa, você terá definido no MATLAB. Você pode vê-la pedindo ao MATLAB para imprimir no Command Window.

O exercício pede para gerarmos o gráfico da resposta ao degrau de amplitude para uma função de transferência . Para isto, usaremos a função para criarmos no MATLAB e, em seguida, usaremos a função , que plota a resposta ao degrau de uma função de transferência.

Como é em função de e o enunciado não especifica mais nada, isso quer dizer que ela foi obtida por meio da transformada de Laplace a partir de funções no domínio de tempo contínuo.

Vamos relembrar a sintaxe da função :

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Precisamos criar os vetores com os coeficientes dos polinômios, mas repare que o numerador e o denominador de estão fatorizados. Logo, precisamos expandi-los (isto é, multiplicar os termos) para termos uns polinômios bem bonitos para pegar os coeficientes.

Vamos fazer isso no MATLAB mesmo. Em um script, digite as linhas de código:

Na primeira linha, criamos uma variável simbólica .

Na segunda linha, entramos com o numerador de , armazenando-o na variável .

Na terceira linha, usamos o comando do MATLAB em . Este comando multiplicará os termos de e gerará o polinômio que precisamos, armazenando-o em .

Rodando o programa, temos:

Adicione ao seu script as duas linhas de código abaixo, para fazer exatamente a mesma coisa com o denominador de :

Na primeira linha, entramos com denominado de , armazenando-o em . Em seguida, usamos em para gerar o polinômio do denominador, armazenando-o em .

Rodando o programa, temos os polinômios do numerador e do denominador de :

Agora que conhecemos os polinômios do numerador e do denominador de , podemos criar os vetores que servirão de entrada para .

O polinômio do numerador é . Já o polinômio do denominador é .

No nosso script, vamos criar dois vetores contendo os coeficientes dos polinômios. O primeiro vetor conterá os coeficientes do polinômio do numerador e será chamado de . O segundo vetor se chamará e terá os coeficientes do polinômio do denominador.

Ambos os vetores vão do elemento com maior expoente ( para o numerador e para o denominador) ao de menor expoente ( para o numerador e para o denominador, pois multiplicam ):

Em seguida, utilize a função para criar a função de transferência no MATLAB:

A função de transferência é armazenada na variável , isto é, é igual a .

Vamos ver a carinha dela? Rode o programa e você terá:

Agora que já entramos com no MATLAB, vamos ver qual é a resposta de a um degrau de amplitude . Para isto, usaremos a função , que tem a sintaxe:

A função com a sintaxe acima plota o gráfico da resposta ao degrau unitário de , que é uma função de transferência criada usando o comando .

Se quiséssemos a resposta ao degrau unitário, bastaria incluir o comando em nosso código. Contudo, queremos ver a resposta para um degrau de amplitude . Por isso, devemos multiplicar por ao utilizarmos . Isto quer dizer que você deve adicionar no script o seguinte comando:

Ao rodar o programa, você terá o gráfico da resposta de a um degrau de amplitude .

O exercício pede para gerarmos o gráfico da resposta à entrada de uma função exponencial para uma função de transferência . Para isto, usaremos a função para criarmos no MATLAB e, em seguida, usaremos a função , que plota a resposta a uma entrada arbitrária de uma função de transferência.

Como é em função de e o enunciado não especifica mais nada, isso quer dizer que ela foi obtida por meio da transformada de Laplace a partir de funções no domínio de tempo contínuo.

Primeiramente, vamos rever a sintaxe da função :

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

O polinômio do numerador de é . Já o polinômio do denominador é .

Em um novo script, vamos criar dois vetores contendo os coeficientes dos polinômios. O primeiro vetor conterá os coeficientes do polinômio do numerador e será chamado de . O segundo vetor se chamará e terá os coeficientes do polinômio do denominador.

Ambos os vetores vão do elemento com maior expoente ( para o numerador e para o denominador) ao de menor expoente ( para o numerador e para o denominador, pois multiplicam ):

Tendo criado os vetores de entrada de , podemos incluir o comando abaixo para criar a função de transferência :

A função de transferência é armazenada na variável , isto é, é igual a . Podemos conferir isso rodando o programa e pedindo ao MATLAB para imprimir no Command Window:

Agora que já entramos com no MATLAB, vamos ver qual é a resposta de à entrada . Para isto, usaremos a função , que tem a sintaxe:

Onde é uma função de transferência criada com ; é um vetor representando uma entrada arbitrária (pode ser qualquer expressão em função do tempo) para cada elemento do vetor , que representa o tempo. O comando , com a sintaxe acima, gera o gráfico da resposta à entrada quando rodamos o programa.

No exercício, queremos ver qual é a resposta para a entrada em função do tempo :

No nosso script, adicione os comandos:

Na primeira linha, criamos o vetor : ele vai de a, com um passo de .

Na segunda linha, calculamos para cada elemento de e armazenamos o resultado no vetor .

Na terceira linha, usamos o comando o para a função de transferência criada no passo anterior.

Ao executar o programa, você terá o gráfico da resposta de a .

O exercício pede para gerarmos o gráfico da resposta ao impulso de . Para isto, usaremos a função do MATLAB para criarmos a função de transferência e, em seguida, usaremos a função para ver sua resposta ao impulso.

Contudo, você deve ter reparado que tem um formato um pouco diferente do que estamos acostumados: existe um exponencial no numerador. Um exponencial no numerador de uma função de transferência representa matematicamente um atraso entre o sinal de entrada e o de saída. É uma forma de modelar matematicamente atrasos em sistemas de controle reais. Por exemplo, em um reator químico ou em aeronaves, pode haver uma demora de alguns segundos do sinal de saída, devido a atuadores ou sensores.

Normalmente, funções de transferência que modelam atrasos no sinal tem o seguinte formato:

Onde seria uma função de transferência no formato que estamos acostumados (polinômios no numerador e no denominador) e modela um atraso de segundos entre o sinal de entrada e o sinal de saída.

No exercício, temos segundos e

Veremos que, para incluirmos em uma função de transferência usando o do MATLAB, basta adicionarmos mais uma entrada em indicando o tempo de atraso .

Para entendermos bem como funciona esse conceito de tempo de atraso entre os sinais de entrada e de saída, vamos primeiro trabalhar somente com e ver sua resposta ao impulso.

Usaremos a função para criarmos no MATLAB, que tem a sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

O polinômio do numerador de é . Já o polinômio do denominador é .

No nosso script, vamos criar duas variáveis representando os coeficientes dos polinômios. Como o polinômio do numerador tem somente um elemento correspondendo a , a variável representando seus coeficientes pode ser um número real. Chamaremos essa variável de e ela é igual a .

A outra variável é um vetor chamado , contendo os coeficientes de , indo do elemento com maior expoente () ao de menor expoente (, pois ele multiplica ):

Tendo criado as entradas de , podemos incluir o comando abaixo para criar a função de transferência :

A função de transferência é armazenada na variável , isto é, é igual a . Podemos conferir isso rodando o programa e pedindo ao MATLAB para imprimir no Command Window:

Após criarmos , vamos ver sua resposta ao impulso, sem o atraso de segundos, isto é, desconsiderando o componente . A resposta ao impulso de uma função de transferência é calculada usando o comando :

Onde é a função de transferência criada usando o comando . Usando a sintaxe acima, plota-se automaticamente o gráfico da resposta ao impulso de .

Inclua em seu script os comandos:

Na primeira linha, dizemos que o gráfico que será gerado por será a primeira figura. Incluimos esse comando para que os gráficos sem e com atraso sejam gerados em janelas diferentes e possamos compará-los.

Na segunda linha, usamos a função para vermos a resposta ao impulso de .

Vamos rodar o programa para vermos a resposta ao impulso sem o atraso de segundos:

Perceba que a curva azul já começa no instante , que é o instante quando ocorre o impulso.

Agora vamos incluir no sistema o atraso de s entre a entrada e a saída, isto é, vamos criar a função de transferência . Lembrando que um atraso entre o sinal de entrada e de saida pode ser modelado assim:

Para modelar um atraso de tempo em uma função de transferência, devemos incluir mais uma entrada na função , que terá o seguinte formato:

Os vetores e contêm os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador de .

Além dos vetores com os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador de , existe uma terceira entrada: . Essa terceira entrada indica que há um atraso de segundos entre o sinal de entrada e o de saída.

Para o exercício, como já criamos e com os coeficientes de no passo 2, para criarmos , vamos só adicionar ao nosso script o comando:

Com este comando, criamos a função de transferência do enunciado e a armazenamos em . Ao incluirmos como entrada, indicamos que em .

Se você rodar o programa que tem até agora e pedir para ver , você verá que é exatamente a função de transferência do enunciado:

Após criar , vamos ver sua resposta ao impulso. Para isto, adicione em seu script os comandos:

Na primeira linha, dizemos que o gráfico que será gerado por será a segunda figura. Na segunda linha, usamos a função para vermos a resposta ao impulso de .

Ao executarmos nosso programa, teremos dois gráficos gerados. Você pode colocá-los lado a lado para compará-los:

À esquerda, temos a Figure 1, que tem a resposta ao impulso de , isto é, sem o atraso de s.

À direita, temos a Figure 2, que tem a resposta ao impulso de , isto é, com o atraso de s. Perceba que há uma diferença de em torno de segundos entre as curvas azuis da esquerda e da direita. Isso ocorre devido ao exponencial de , que representa esse tempo de atraso.

O exercício pede para gerarmos o gráfico da resposta de um sistema massa-mola-amortecedor com uma base cuja excitação é dada por uma função trigonométrica. Para isto, usaremos a função para criarmos no MATLAB e, em seguida, usaremos a função , que plota a resposta a uma entrada arbitrária de uma função de transferência.

Em um novo script, digite os parâmetros e do sistema:

Tendo definido e , podemos entrar com no MATLAB, por meio da função , que tem como sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

O polinômio do numerador de é . Já o polinômio do denominador é .

Vamos criar dois vetores contendo os coeficientes dos polinômios. O primeiro vetor conterá os coeficientes do polinômio do numerador e será chamado de . O segundo vetor se chamará e terá os coeficientes do polinômio do denominador. Ambos os vetores vão do elemento com maior expoente ao de menor expoente:

Com os vetores de entrada de , inclua o comando abaixo para criar :

A função de transferência é armazenada na variável . Confira se você digitou tudo certinho rodando o programa e pedindo ao MATLAB para imprimir no Command Window:

Tendo definido no MATLAB, vamos ver qual é a resposta do sistema à excitação . Para isto, usaremos a função , que tem a sintaxe:

Onde é uma função de transferência criada com ; é um vetor representando uma entrada arbitrária (pode ser qualquer expressão em função do tempo) para cada elemento do vetor , que representa o tempo. O comando , com a sintaxe acima, gera o gráfico da resposta de à entrada .

No exercício, queremos ver qual é a resposta do sistema para a entrada em função do tempo , para :

No nosso script, adicione os comandos:

Na primeira linha, criamos o vetor : ele vai de a, com um passo de .

Na segunda linha, calculamos para cada elemento de e armazenamos o resultado no vetor .

Na terceira linha, usamos o comando o para a função de transferência criada no passo anterior. Desta forma, teremos a resposta de para a entrada .

Ao executar o programa, teremos o gráfico da resposta do sistema massa-mola-amortecedor à excitação .

O exercício pede para plotarmos em um mesmo gráfico as resposta ao degrau unitário das funções de transferência , , e . Para isto, usaremos a função para criarmos as funções de transferência no MATLAB e, em seguida, usaremos a função , que plota a resposta ao degrau de uma função de transferência, para cada uma.

Primeiramente devemos criar , , e no MATLAB, usando a função , que tem como sintaxe:

A função tem como entrada dois vetores, o primeiro contendo os coeficientes do polinômio do numerador da função de transferência (representado por ) e outro contendo os coeficientes do polinômio do denominador (representado por ). Ambos os vetores vão do elemento com maior expoente ao de menor expoente.

retorna um objeto representando a função de transferência, que será armazenada em .

Vamos começar com , cujo numerador é . Já o denominador é o polinômio . Em um novo script, vamos criar duas variáveis contendo os coeficientes dos polinômios de . A primeira variável representará os coeficientes do polinômio do numerador e será chamada de . A segunda variável será um vetor chamado e terá os coeficientes do polinômio do denominador. Após criar as duas variáveis de entrada de , digite o comando :

Desta forma, a função de transferência é criada e armazenada na variável Podemos ver como ficou, rodando o programa e imprimindo-o no Command Window:

Faça o mesmo procedimento para :

A variável contém o numerador de e o vetor contém os coeficientes do polinômio do denominador de . A função de transferência é criada usando e é armazenada na variável . Vamos ver como ficou :

Para criar , adicione em seu script o comando:

Execute o programa e veja como ficou :

Para definir , vamos criar uma “função de transferência auxiliar”, chamada de :

Temos então que

Vamos criar os vetores com os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador de . Vamos chamá-los de e . Logo em seguida, vamos criar usando a função :

Para calcular , adicione o comando:

Desta forma, tem essa cara:

Para plotar a resposta ao degrau unitário de , , e , usaremos o comando , que tem a sintaxe:

A função plota o gráfico da resposta ao degrau unitário de , que é uma função de transferência criada usando o comando .

Para termos a resposta ao degrau unitário de , , e , devemos incluir no nosso script os comandos , e assim por diante. Contudo, o enunciado pediu que plotássemos tudo no mesmo gráfico. Para fazermos isto, devemos incluir o comando após o primeiro comando que digitarmos:

O comando faz com que a curva que acabou de ser plotada não seja substituída pela próxima a ser plotada, de forma que elas apareçam juntas no gráfico.

O comando serve para criar a legenda do gráfico, para sabermos qual é a resposta de cada função de transferência.

Execute o programa e você terá o gráfico com as respostas de , , e ao degrau unitário.