Integrais Numéricas

O exercício pede para resolvermos a integral com os valores da tabela, usando a regra dos trapézios.

Podemos fazer isso no MATLAB, usando a função , que permite calcular a integral numérica a partir de dados tabelados. A função terá como entrada a primeira linha da tabela, representando o intervalo de integração, e a segunda linha da tabela, representando .

O primeiro passo para resolvermos o exercício é entrarmos no MATLAB as informações dadas no enunciado. Crie um script novo no MATLAB e digite as duas linhas de código:

Na primeira linha de código, é criado um vetor que vai de a , com um passo de . Ele contém os valores da primeira linha da tabela e representa o intervalo de integração.

Na segunda linha de código, o vetor armazena os dados de apresentados na tabela.

Após criarmos esses dois vetores, temos tudo o que precisamos para usar a função .

A função do MATLAB tem a seguinte estrutura:

Ela nos retorna o resultado da integração, que representa a área sob a curva , definida no intervalo .

Neste exercício, o vetor entra no lugar de , pois representa o intervalo de integração, e o vetor entra no lugar de , já que representa para cada elemento do vetor .

Inclua no seu código o comando:

O comando vai calcular a integral e armazenar o resultado na variável .

Ao rodarmos o programa, temos como resultado:

O exercício pede para usarmos o MATLAB para calcular a integral numérica de duas funções, usando a Regra dos Trapézios. Isto quer dizer que nos é pedido para usar a função do MATLAB, que calcula integrais usando o método dos trapézios.

A letra pede para calcular a integral da função:

Crie um script novo no MATLAB e entre com as duas linhas de código:

Na primeira linha de código, foi criado um vetor , que vai de a com um passo de . Este vetor representa o intervalo de no qual vamos integrar a função. Escolhi um passo de para ter uma maior precisão no resultado, mas você pode escolher o passo que quiser. Mas lembre que quanto menor o passo, maior a precisão da integral numérica.

Na segunda linha de código, o comprimento de foi armazenado na variável .

Agora vamos calcular a função para cada elemento de . Para fazermos isso, teremos que criar um laço , como no código abaixo:

Primeiramente, é criado um vetor de zeros de mesmo comprimento de , por meio do comando . Este vetor é chamado de e cada elemento dele vai ser substituído no laço , sendo atualizado com o valor da função para cada valor de .

Em seguida, inicia-se o laço , criando-se uma variável de controle que vai de a . No bloco do , a função é calculada para cada elemento do vetor e o resultado é armazenado no elemento de mesma posição do vetor .

Com os vetores e definidos, já podemos calcular a integral da letra do exercício.

No passo anterior, foram criadas as duas entradas que precisamos para usar a função para calcular a integral da função. Lembrando que tem a seguinte estrutura:

Ela nos retorna o resultado da integração, que representa a área sob a curva , definida no intervalo .

Para a letra do exercício, inclua no seu script a seguinte linha de código:

A integral da letra é resolvida por meio desta linha de código, usando os vetores que criamos no passo 2. Ao rodarmos o programa, temos como resposta:

Lembre que se você usou um passo diferente de , seu resultado pode ser um pouquinho diferente, mas não significa que está errado. Você só dividiu a área sob a curva em partes de tamanho diferente do que eu fiz.

Pronto! Letra resolvida. Vamos fazer a letra .

A letra pede para calcular a integral da função:

Para resolvermos a letra , usaremos o mesmo passo a passo que fizemos para a letra . Em um novo script do MATLAB, digite as duas linhas de código:

De maneira similar ao passo 2, foi criado um vetor , que vai de a com um passo de , na primeira linha de código. Escolhi novamente um passo de , mas você pode usar o passo que quiser. Assim como no passo 2, este vetor representa o intervalo de no qual vamos integrar a função.

Na segunda linha de código, o comprimento de foi armazenado na variável .

Agora vamos calcular a função para cada elemento de . Novamente, vamos criar um laço :

Este pedaço de código faz exatamente a mesma coisa que o pedaço de código com o laço apresentado no passo 2.

Primeiramente, é criado um vetor de zeros de mesmo comprimento de . Cada elemento de vai ser atualizado no laço com o valor da função para cada elemento de .

Em seguida, inicia-se o laço , criando-se uma variável de controle que vai de a . No bloco do , a função é calculada para cada elemento do vetor e o resultado é armazenado no elemento de mesma posição do vetor .

Executando este passo, já temos tudo o que precisamos para calcular a integral da letra do exercício.

Vamos usar a função para calcular a integral da letra . Inclua no seu código o comando:

Este comando vai retornar a integral da função , representada pelo vetor , para o intervalo representado pelo vetor . O resultado é armazenado na variável , que, aós rodar o código, equivale a:

Lembre que seu resultado pode ser um pouquinho diferente do meu, caso você tenha usado um passo diferente na criação do vetor .

Letra resolvida!

O enunciado pede para resolvermos a integral:

Usando os dados de e da tabela. Como temos valores numéricos de e , isto significa que devemos usar integração numérica para resolvermos o problema (que foi o que o enunciado pediu, no final das contas). O resultado da integral corresponde ao intervalo de tempo que o carro de leva para acelerar de a .

Como o enunciado pediu para usarmos o método dos trapézios para calcular a integral, usaremos a função do MATLAB para resolver a questão.

O primeiro passo para resolver o problema é entrar com os dados do enunciado no MATLAB, para daí calcularmos a integral. Crie um script novo no MATLAB e digite as três linhas de código abaixo:

Na primeira linha, foi criada uma variável para armazenar a massa do carro, de .

Na segunda linha, foi criado um vetor para armazenar os valores de velocidade da primeira linha da tabela. Não entramos com (primeira coluna da tabela) pois queremos integrar de a .

Na terceira linha, foi criado um vetor para armazenar os valores de potência da segunda linha da tabela. Novamente, não entramos com a potência da primeira coluna da tabela, pois não faz parte do intervalo de integração.

Note que o vetor é multiplicado por . Isto foi feito para converter para , para obtermos em segundos. Se não fizermos esta conversão, será dado em milissegundos.

Depois de entrarmos as informações dadas no enunciado no nosso script do MATLAB, vamos criar um vetor representando a função de dentro da integral: . Para isto, inclua no seu código o comando:

Com este comando, dividimos cada elemento de pelo elemento de que esteja na mesma posição, o que resulta no vetor .

O vetor corresponde à função a ser integrada.

Após concluir o passo 3, temos todos os recursos para resolver a integral:

Usando a função do MATLAB. Lembrando que tem a seguinte estrutura:

Ela nos retorna o resultado da integração, que representa a área sob a curva , definida no intervalo .

Para nosso problema, o vetor entraria no lugar de e o vetor no lugar de . No seu programa, digite a linha de código:

Este comando resolve a integral:

Para encontrarmos , ainda temos que multiplicar o resultado da integral por :

O produto resulta no intervalo de tempo para o carro de acelerar de para . O intervalo de tempo é armazendo na variável .

Ao rodarmos o código, temos o seguinte resultado:

O valor de é a resposta do exercício.

O exercício pede para calcularmos a velocidade resolvendo a equação:

Para encontrarmos antes temos que resolver a integral dentro da raiz, usando integração numérica. Para solucionar a integral, podemos usar a função do MATLAB.

O enunciado nos dá como dados:

Com os valores da tabela, podemos definir o intervalo de integração, que vai de a , e podemos calcular . Desta forma, temos as entradas de .

A primeira coisa que devemos fazer é entrar com os dados fornecidos pelo enunciado no MATLAB. Crie um novo script e digite as linhas de código:

Com estes comandos, entramos no programa os dados da tabela apresentada no passo 1. Chamei a variável que armazena o coeficiente de atrito de , que é uma das formas de pronunciar , já que não podemos usar letras gregas como nome de variáveis no MATLAB.

Vamos agora criar o intervalo de integração. Ele será representado por um vetor , construído com o comando:

O vetor vai de a , com um passo de . Eu adotei o passo de para gerar um resultado mais preciso na integração mais pra frente, mas você pode adotar o passo que quiser. Só não se esqueça que o tamanho do passo tem impacto direto sobre a precisão da integração: quanto menor o passo, mais precisa é a integração numérica.

Após ter digitado o comando para criar , adicione logo abaixo a linha de código:

Esta linha vai armazenar a quantidade de elementos do vetor na variável , por meio da função , que retorna o comprimento de um vetor. Precisamos do número de elementos de para podermos calcular usando um laço .

Agora, vamos criar um vetor representando a função ser integrada:

Como dito, usaremos um laço para isto, por meio das linhas de código abaixo:

Primeiramente, é criado um vetor de zeros de mesmo comprimento de , por meio do comando . Este vetor é chamado de e cada elemento dele vai ser substituído no laço pelo resultado de para cada elemento do vetor .

Em seguida, inicia-se o laço , criando-se uma variável de controle que vai de a . No bloco do , a função é calculada para cada elemento do vetor e o resultado é armazenado no elemento de mesma posição do vetor .

Concluído este passo, temos tudo o que precisamos para fazer a integração.

Para resolvermos a integral, usaremos a função que tem o seguinte formato:

Ela nos retorna o resultado da integração, que representa a área sob a curva , definida no intervalo .

Para nosso problema, o vetor entraria no lugar de e o vetor no lugar de . No seu programa, digite a linha de código:

Este comando resolve a integral:

Para encontrarmos , ainda precisamos fazer algumas continhas com o resultado da integral, armazenado na variável , retornada por . Lembre que é dado por:

No seu script, digite logo abaixo de a linha de código:

Esta linha calcula usando a expressão dada no enunciado e armazena o resultado em .

Ao executarmos nosso programa, temos o seguinte resultado para :

O enunciado pede para encontrarmos a velocidade média de um óleo escoando em um duto de raio , com uma velocidade máxima de . Para isto, devemos resolver no MATLAB a seguinte integral:

onde

O resultado desta integral é a velocidade média do óleo. Devemos considerar .

Para calcularmos a integral do enunciado, podemos usar a função do MATLAB.

O primeiro passo é entrarmos com as informações do enunciado no MATLAB. Crie um script novo e digite as linhas de código:

Criamos variáveis para armazenar os valores , e . Respectivamente, são as variáveis , e .

Em seguida, calculamos a constante , que é armazenada na variável .

O passo seguinte consiste em criar as entradas para a função .

Vamos criar o intervalo de integração com as seguintes linhas de código:

Na primeira linha, é criado um vetor que vai de a , com um passo de . O vetor representa o intervalo de integração pra encontrar a velocidade média do óleo no duto, lembrando que é o raio do duto.

Eu adotei o passo de para gerar um resultado mais preciso na integração mais pra frente, mas você pode adotar o passo que quiser. Só não se esqueça que o tamanho do passo tem impacto direto sobre a precisão da integração: quanto menor o passo, mais precisa é a integração numérica.

Na segunda linha de código, a função conta quantos elementos tem o vetor e armazena o resultado a variável .

Agora, vamos criar um vetor representando a função ser integrada: . Para isto, usaremos um laço , por meio das linhas de código abaixo:

Primeiramente, é criado um vetor de zeros de mesmo comprimento de , por meio do comando . Este vetor é chamado de e cada elemento dele vai ser substituído no laço pelo resultado de para cada elemento do vetor .

Em seguida, inicia-se o laço , criando-se uma variável de controle que vai de a . No bloco do , a função é calculada para cada elemento do vetor e o resultado é armazenado no elemento de mesma posição do vetor .

Concluído este passo, temos tudo o que precisamos para fazer a integração pedida no enunciado.

Para resolvermos a integral, usaremos a função que tem o seguinte formato:

Ela nos retorna o resultado da integração, que representa a área sob a curva , definida no intervalo .

Para nosso problema, o vetor entraria no lugar de e o vetor no lugar de . No seu programa, digite a linha de código:

Este comando resolve a integral:

Para encontrarmos a velocidade média , temos que multiplicar o resultado da integral pela constante , que definimos lá no passo 2:

O produto corresponde à velocidade média do óleo escoando no duto, a qual é armazenada na variável .

Ao rodarmos o script do MATLAB, chegamos ao seguinte resultado:

O valor de é a resposta do exercício.

O exercício pede para calcularmos a razão usando integração numérica. Para determinar , basta resolver a integral, pois:

Para resolver a integral de forma numérica, podemos usar a função do MATLAB, que calcula integrais usando o método dos trapézios.

Em um novo script, crie o intervalo de integração com a linha de código:

Esta linha cria um vetor , que vai de a com um passo de , representando o intervalo de no qual vamos integrar a função. Escolhi um passo de para ter uma maior precisão no resultado, mas você pode escolher o passo que quiser. Mas lembre que quanto menor o passo, maior a precisão da integral numérica.

Em seguida, vamos calcular a função dentro da integral para cada valor do vetor . Podemos simplificar a função ao adotar :

Em seu script, implemente o cálculo de para cada valor de contido no vetor com a linha de código:

Os valores de para cada elemento de são armazenados no vetor .

Note o uso dos operadores e : eles indicam ao MATLAB que cada elemento de um vetor deve ser elevado ao quadrado e dividido pelo elemento de mesma posição no vetor do denomindor de uma divisão, respectivamente.

Nos dois passos anteriores, foram criadas as duas entradas que precisamos para usar a função para calcular a integral e obter : os vetores e . Lembrando que tem a sintaxe:

Ela nos retorna o resultado da integração, que representa a área sob a curva , definida no intervalo .

Inclua no seu script a seguinte linha de código:

Este comando resolve numericamente a integral e armazena em o resultado dela, que é a razão . Ao rodar o programa, vemos que é igual a:

O exercício pede para encontrarmos a velocidade da flecha resolvendo a integral:

Usando os dados de e da tabela. Como temos valores numéricos de e , isto significa que devemos usar integração numérica para resolvermos o problema. Para isto, usaremos a função do MATLAB. Com a solução da integral, conseguimos encontrar ao isolá-lo na equação acima.

O primeiro passo para resolver o problema é entrar com os dados das tabelas no MATLAB, para daí calcularmos a integral. Crie um script novo no MATLAB e digite as linhas de código abaixo:

Na primeira linha, foi criado um vetor para armazenar os valores de da tabela. Como aumenta a um passo constante na tabela, o vetor foi criado usando a sintaxe de forma que ele vai de a , com um passo de .

Na segunda linha, foi criado um vetor para armazenar os valores de força da tabela.

Já temos todos os recursos para resolver a integral:

Usando a função do MATLAB. Lembrando que tem a sintaxe:

Ela nos retorna o resultado da integração, que representa a área sob a curva , definida no intervalo .

Para nosso problema, o vetor entraria no lugar de e o vetor no lugar de . No seu programa, digite a linha de código:

O resultado da integral é armazenado em .

Para encontrar , devemos isolá-lo na equação:

Temos que é igual a:

Por isso, em seu programa, entre com a massa da flecha e implemente a equação acima, por meio das duas linhas de código:

Ao executar o programa, temos , a velocidade da flecha quando ela deixa o arco:

O exercício pede para calcularmos para diferentes valores de . Isto faz com que tenhamos que resolver a integral

várias vezes, para diferentes intervalos de integração, visto que define tal intervalo.

Por isso, usaremos a função dentro de um laço , para que a integral seja resolvida para cada valor de . A função também será calculada dentro do mesmo laço .

Ao final, plotaremos a curva de em função de com o comando .

Vamos começar definindo o intervalo de com o qual se deseja calcular . Em um script novo, digite o comando:

Este comando cria um vetor contendo os valores de com quais calcularemos . O enunciado pediu para fazermos indo de a , com um passo de . Por isso, o vetor vai de a , com um passo de .

Antes de iniciar o laço , vamos criar um vetor para armazenar o resultado de para cada valor de . Para isso, digite em seu script as linhas de código:

Na primeira linha, armazenamos na variável o número de elementos do vetor , por meio da função , que nos dá a quantidade de elementos de um vetor.

Na segunda linha, criamos um vetor composto só de zeros, com a mesma quantidade de elementos do vetor , por meio da função .

O vetor receberá o resultado de para cada valor de , tendo seus elementos atualizados dentro do laço .

Comece a implementar o laço , usando uma variável de controle que vai de 1 a .

Variando de a , conseguiremos acessar um a um todos os elementos do vetor por meio do laço . Também conseguiremos ir preenchendo o vetor , ao calcular dentro do laço e armazenando o resultado no elemento correspondente de .

Note que o intervalo de integração vai de a e o primeiro valor de é , o que dará um erro de divisão por . Por isso, precisamos incluir dentro do nosso uma condição para dizer ao MATLAB o que fazer quando . Quando , , por isso, inclua dentro do os comandos:

Desta forma, dizemos que se o elemento do vetor for igual a , o elemento do vetor também será igual a .

Caso seja diferente de , não haverá erro de divisão por no intervalo de integração. Por isso, é dentro do que faremos o cálculo da integral.

Para calcular a integral , precisamos definir o intervalo de integração, calcular para cada valor do intervalo e usar a função para calcular a integral. Lembrando que tem a sintaxe:

Ela nos retorna o resultado da integração, que representa a área sob a curva , definida no intervalo .

Por isso, após o dentro laço , digite as quatro linhas de código:

A linha

Cria um vetor , que vai de a , onde é o valor de na iteração , com um passo de . O vetor representa o intervalo de no qual vamos integrar a função. Escolhi um passo de para ter uma maior precisão no resultado, mas você pode escolher o passo que quiser. Mas lembre que quanto menor o passo, maior a precisão da integral numérica.

Na linha

Calculamos para cada elemento do vetor . Note os comandos , e , indicando que as operações são realizadas por elemento do vetor .

Na linha

Calculamos a integral. Contudo, perceba que eu não usei simplesmente e como entrada, mas sim e . Isto é, usei como entrada os dois vetores começando no seu segundo elemento. Fiz isso para não pegar o valor , pois , logo, o primeiro elemento de corresponde a (“not a number”, no MATLAB), o que não permite calcular a integral com .

Finalmente, na linha

Calculamos , multiplicando o resultado da integração pelo valor de da iteração elevalo ao cubo. O resultado é armazenado no elemento do vetor .

Desta forma, o laço está completo.