Operações de Vetores e Matrizes

Para começar precisamos inserir os vetores no Matlab.

Primeiramente inserimos o u e v.

U=[1 2 3 4]

V=[5,6,7,8]

Agora iremos calcular a soma e a média dos vetores, para a soma temos:

K=U+V

E para calcular a média precisamos da função:

D=mean(K)

Para começar precisamos inserir os vetores no Matlab.

Primeiramente, inserimos o u e v.

U=0:1:10

V=20:1:30

Agora iremos calcular a soma e a média dos vetores, para a soma temos:

K=U+V

E para calcular a média precisamos da função:

D=mean(K)

Para calcular a divergência do vetor, precisamos primeiramente inseri-lo de forma simbólica.

Isso torna-se necessário porque estamos com variáveis que não tem um valor numérico definido, então a única forma de calcular essas operações no Matlab é via variável simbólica. Operações realizadas em função de algo que não apresente um valor numérico exige que indiquemos no Matlab que as variáveis são simbólicas.

Pensa comigo, se eu não digo quais são as variáveis de entrada, qual é a entrada de dados? Ou seja, o primeiro bloco da programação é nulo, vou realizar uma operação em algo que eu não defini, por isso utiliza-se variável simbólica nessa alternativa.

E relembrando uma coisa que já foi vista em outros tópicos: quando se define uma variável simbólica, isso está além de se a natureza é vetorial ou escalar, ou seja, a variável simbólica serve tanto para funções escalares quanto para funções vetoriais.

Após isso utiliza a função divergência para calcular o divergente do vetor.

Aqui o Matlab separou os elementos do vetor Z por uma vírgula, isso é algum elemento da sua própria configuração que porventura desconheço o motivo, pois podemos separar os elementos de uma linha de duas formas a primeira é o que utilizamos que é espaçamento simples a outra é colocar uma vírgula.

Por algum motivo meu Matlab está configurando assim, mas tanto um quanto o outro está correto.

Mas o que importa é que na workspace ele está entendendo que estou criando um vetor linha como mostrado abaixo:

Para resolver essa questão primeiramente precisamos inserir a matriz e após isso utilizamos a função inversa vista na tabela da aula, logo precisamos implementar a matriz dentro do Matlab.

Primeiramente vamos inserir a primeira linha onde precisamos espaçar os elementos apenas com um espaçamento simples.

A

Para implementar a segunda linha precisamos dar um “;” para indicar que vamos implementar a segunda linha e vamos separar cada elemento da segunda linha por um espaçamento simples, resultando a seguinte matriz:

A

E ae galera vamos resolver esse problema? Para isso primeiramente vamos inserir k vetor ok?

Uma vez que o vetor está inserido, vamos apenas calcular o cosseno desse vetor, ou seja, vamos calcular o cosseno de cada elemento dentro do vetor.

Para isso precisamos apenas chamar a função cosseno e no seu argumento de entrada inserir o vetor que desejamos calcular o cosseno.

Sendo assim, a sintaxe se torna:

Onde a variável Y está nos mostrando o cosseno de cada elemento do vetor V.

Para resolver qualquer alternativa dessa questão precisamos inserir esses três matizes primeiramente, logo

A=[5 2 4 ; 1 7 -3 ; 6 -10 0]

B=[11 5 -3; 0 -12 4 ; 2 6 1]

C=[7 14 1;10 3 -2; 8 -5 9]

Para calcular as alternativas precisamos inserir apenas as expressões de cada Alternativa

1. Agora precisamos somar

W=A+B

W=B+A



2. Agora calcular as expressões

W=A + (B + C)

W=(A + B) + C



3. Basta inserir as expressões da letra C

W=5*(A + C)

W=5*A + 5*C

Inicialmente iremos criar o vetor, se você analisar bem veremos que existe um padrão na progressão desse vetor, pois ele começa em e a cada elemento ele soma

Então para criar o vetor podemos utilizar o segundo método mais prático ao invés de ficar inserindo elemento a elemento, logo.

Agora para criar essa operação elemento a elemento precisamos lembrar que para fazer a multiplicação elemento a elemento e elevar a uma certa potência antes da operação precisa colocar o pontinho como vimos na tabela aritmética, sendo assim a função fica

Se escreveu tudo certinho no Matlab temos:

Primeiramente para resolver essa questão precisa reescrever o sistema de equações sob a forma matricial, sendo assim esse sistema na forma matricial se torna:

E vamos chamar a matriz de coeficientes de A e o vetor à direita da equação de b.

Para resolver esse sistema de equações lineares basta lembrar da função linsolve que está na tabelinha da aula.

Agora vamos programar!

O código no Matlab se torna algo mais ou menos assim. Primeiro vamos declarar 4 vetores e cada um deles corresponde a uma das linhas da matriz A. Para formar vetores, os elementos são separados por espaços.

V1 = [5 4 -2 6]

V2 = [3 6 6 4.5]

V3 = [6 12 -2 6]

V4 = [4 -2 2 -4]

Agora que temos suas linhas definidas, criamos a matriz A com os elementos (as linhas) listadas na ordem correta e separadas por ponto e vírgula.

A = [ V1 ; V2 ; V3 ; V4 ]

O vetor b é uma matriz coluna, então também terá seus elementos separados por ponto e vírgula.

B = [ 4 ; 13.5 ; 20 ; 6 ]

Agora usamos o comando linsolve pra resolver o sistema de equações. Nos argumentos entram a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes b, nessa ordem.

X = linsolve (A,b)

Agora o Matlab irá montar a matriz e resolver com a função:

Resultando X=0,9433 y=1,8821 z=0,7415 w=-1,1270

A questão é uma aplicação de resolução de sistema de equações lineares, tem diversas formas de fazer ela.

Porém, dessa vez iremos resolver pelo método da matriz inversa. Pois, como geralmente é mostrado no ensino médio seja um sistema de equações na forma matricial.

Se pudermos escrever o sistema da seguinte forma:

Nós temos que a solução é

Então, para resolver essa questão precisamos explicitar todas as soluções em função de

E assim julgar os valores de pelo o qual nosso sistema satisfaz as condições desejadas da questão.

Analisando o sistema de equação podemos notar que podemos decompor em três matrizes, que são as matrizes:

E podemos perceber que se realizarmos a seguinte operação matricial:

Iremos retornar para o sistema de equações originais.

Logo, para resolver o sistema de equações precisamos implementar primeiramente essas três matrizes no Matlab.

Então vamos lá.

Primeiramente precisamos notar que quando formos inserir essa matriz no Matlab existe uma variável simbólica dentro, isso mesmo é a variável .

Então vamos primeiramente defini-la como uma variável simbólica.

Agora vamos inserir as matrizes, se caso você inserir cada matriz certinho deve chegar em algo mais ou menos assim:

Uma vez que implementamos precisamos resolver o sistema de equação linear, para isso vamos usar a função inversa.

Basta escrever na sua Workspace a seguinte equação:

Ou seja, a solução é a inversa da matriz M multiplicado pela matriz B e chegaremos no seguinte conjunto de soluções:

Para finalizar vamos analisar as soluções, como podemos ver todas as soluções têm denominadores do tipo , onde as raízes são .

Ou seja, quando o valor de é igual a o denominador da , e como sabemos da matemática básica qualquer divisão por zero é uma indeterminação.

Ou seja, excerto qualquer outro valor de produz uma solução única e real.

Essa questão é uma questão bem típica da álgebra linear que existe uma demanda de cálculos consideravelmente grande.

Para a resolução analítica da questão devemos lembrar das operações de multiplicação de matrizes, que equivale por exemplo a:

Agora imagina só, você realiza essas operações até resolver aqueles polinômios da questão?

Trabalhoso demais né?

Ai que vem a vantagem de resolver isso no Matlab, iremos precisar apenas de duas linhas.

A primeira vamos inserir a matriz e na segunda linha vamos inserir o polinômio, pois, quando eu indico no Matlab a operação ele automaticamente já entende que tou fazendo

E isso funciona com as demais potências.

Agora que já discutimos a questão no passo 1, vamos inserir a matriz dentro do Matlab.

Para isso vamos precisar lembrar da sintaxe, para inserirmos os elementos da primeira linha precisamos apenas separar os elementos por espaços simples dentro de uma chave.

Logo a primeira linha da matriz fica:

Agora precisamos inserir a segunda linha basta colocar o ponto e vírgula, isso indica ao Matlab que vamos começar a escrever a segunda linha da matriz, logo:

Uma vez que inserirmos a matriz no Matlab, vamos agora implementar o polinômio da questão em si da seguinte forma:

Inserindo tudo na janela de command Windows deve mostrar algo mais ou menos assim para você:

Opa galerinha, essa questão é uma questão bem típica de exercícios de geometria analítica.

A ideia aqui é executar a multiplicação entre as matrizes para poder identificar o elemento da matriz .

Não é uma tarefa muito difícil de fazer manualmente, porém, o Matlab está aí para facilitar nossas vidas, então vamos lá utilizá-lo.

Primeiramente precisamos implementar cada matriz no Matlab, após isso basta realizar o produto das matrizes A e B e rapidamente teremos a matriz C.

Mas como identificar o elemento ?

Basta usar o comando

Esse comando faz o seguinte, ele procura o elemento da intersecção entre a segunda linha e segunda coluna da Matriz C e o anexa na variável G que você mesmo definiu, respondendo assim a sua questão.

Agora que já discutimos a questão no passo 1, vamos inserir a matriz dentro do Matlab.

Para isso vamos precisar lembrar da sintaxe, para inserirmos os elementos da primeira linha precisamos apenas separar os elementos por espaços simples dentro de uma chave.

Logo a primeira linha da matriz fica:

Agora precisamos inserir a segunda linha basta colocar o ponto e vírgula, isso indica ao Matlab que vamos começar a escrever a segunda linha da matriz, logo:

Seguindo essa regrinha sucessivamente podemos escrever as Matrizes e da seguinte forma:

E consequentemente a Matriz C é dada por

E para descobrir o Elemento da matriz C que nos interessa basta escrevermos:

Que isso irá procurar na matriz C o elemento e anexá-lo na variável C imprimindo na janela de command windows

Inserindo tudo na janela de command Windows deve mostrar algo mais ou menos assim para você: