Distribuição Normal
Teoria
Imagine a seguinte situação: Estamos fazendo uma experimento químico, para isso passamos por vários passos, tiramos um volume da amostra, pesamos, tiramos a temperatura, dissolvemos, preparamos um reagente..e por ai vai!
Cada pequeno passo que a gente da pode gerar diversos erros aleatórios, um errinho somado com outro que gera um erro significativo, mas lembrando que o mesmo experimento é repetido diversas vezes, qual é a probabilidade de todos os erros aconteceram ao mesmo tempo?!
É exatamente esse o espirito da coisa na distribuição normal!
Curva de distribuição padrão
Se um experimento, repetido várias vezes tiver apenas erros aleatórios, então os resultados tendem a se agrupar em torno de um valor médio!
Seguindo esse raciocínio a gente tem a curva de distribuição normal ou curva gaussiana:
A curva de distribuição normal é muito utilizada para modelar fenômenos naturais. Mas ai você me pergunta: “ o que fenômenos naturais tem a ver com análise de dados em um experimento químico?!”
Mas o que são fenômenos naturais se não eventos aleatórios!!
Segundo a curva de distribuição normal dos dados estão entre e desvio-padrão, entre e entre . A equação da curva é dada pela seguinte expressão:
Parâmetros
Na curva de distribuição normal encontramos os parâmetros que queremos estimar nas análises estatísticas, a média da população e o desvio-padrão da população , que são fornecidos pelas seguintes equações:
Diferente da média da amostra , aqui é o número total de medidas de toda a população.
O desvio-padrão da população é dado por:
Histograma
Uma forma de trazer a curva gaussiana um pouco mais pra realidade da estatística é fazendo um histograma. Por exemplo, ao analisar a concentração de óleo no mar por causa de um derramamento de óleo, poderiamos ter um histograma da seguinte forma:
Os dados obtidos foram organizados em faixas de ordem crescente e o eixo mostra a porcentagem em que cada faixa aparece. A ideia é que quanto mais dados a gente tem mas o histograma fica com o formato parecido com a curva de distribuição normal!
A medida que então !!
Os parâmetros são determinados pelas medidas da amostra, o desvio-padrão da amostra pode ser dado por:
Ou:
E o quadrado do desvião-padrão da amostra é sua varância, que nada mais é do que outra forma de determinar precisão:
Agora bora exercitar o que a gente aprendeu!!!
Parâmetros
Histograma
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
SKOOG, WEST, HOLLER, CROUCH, Fundamentos de Química Analítica, Tradução da 8ª Edição norte-americana, Editora Thomson, São Paulo-SP, 2006. Capítulo 6, exercício 6-2.
(Adaptado) Diferencie:
(a) Desvio-padrão de uma amostra e variância de uma amostra;
(b) Média da população e média da amostra;
Passo 1
Vamos começar com a diferença entre desvio-padrão de uma amostra () e a variância da amostra!
A gente consegue ver a diferença logo de cara só de olhar como a gente representa eles, a variância é nada mais nada menos que o quadrado do desvio-padrão. Assim como o desvio-padrão a variância representa uma medida de precisão!
Passo 2
A média da amostra () é a média aritmética das medidas de um conjunto de amostras dada por:
Enquanto a média da população () é a média das medidas de toda a população, a sua fórmula é bem parecida:
Muitas vezes é impossível calcular a média da população, mas a medida que o número de amostras aumenta, se torna mais próximo de !
Resposta
- A variância da amostra é o quadrado do seu desvio-padrão;
- A média da população leva em conta todos os dados enquanto a média da amostra leva em conta apenas medidas selecionadas aletóriamente;
Exercício Resolvido #2
SKOOG, WEST, HOLLER, CROUCH, Fundamentos de Química Analítica, Tradução da 8ª Edição norte-americana, Editora Thomson, São Paulo-SP, 2006. Capítulo 6, exercício 6-5.
A partir de uma curva de erro gaussiana, qual a probabilidade de um resultado de
uma população estar contido entre e em relação à média? Qual a probabilidade
de o resultado ocorrer entre e em relação à média?
Passo 1
Vamos começar dando uma olhadinha na curva de erro gaussiana!!
Sabendo que dos dados estão entre , entre e entre ! Se dos dados estão em torno de então a probabilidade do resultado esta entre e é a metade deste:
Passo 2
Agora a gente pode dividir as regiões da curva:
Logo da curva esta dividido entre e e e , para achar a probabilidade de um resultado de uma população estar contido entre e dividimos esse valor por :
Para vizualizamos melhor a curva segue a seguinte distribuição:
Aweee!!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Lista de Química Analítica II-UFF
(Adaptado) A espécie é determinada em amostras de minerais utilizando-se do como titulante, em meio fortemente ácido. Sabendo-se que em determinado mineral o valor de referência para a espécie em questão é e que, um analista encontrou os seguintes resultados em sua análise em de , pede-se determinar a média, o desvio padrão, a variância dos resultados obtidos.
Passo 1
O problema da pra a gente medidas diferentes de concentração de e pede a média, o desvio padrão, a variância dos resultados!
Vamos começar calculando a média, que é dada por:
Substituindo, temos:
Passo 2
O desvio padrão é dado por:
Pra ficar mais organizadinho, vamos montar uma tabelinha!!
Agora ficou molezinha:
E pra acabar a variância é dada pelo quadrado do desvio padrão:
Awee, prontinho!!
Resposta
Média:
Desvio padrão:
Variância:
Exercício Resolvido #4
SKOOG, WEST, HOLLER, CROUCH, Fundamentos de Química Analítica, Tradução da 8ª Edição norte-americana, Editora Thomson, São Paulo-SP, 2006. Capítulo 6, Exemplo 6-1.
Os seguintes resultados foram obtidos na determinação do teor de Pb em uma amostra de sangue. Encontre a média o desvio padrão. Os dados estão em ppm de Pb
Passo 1
Temos aqui cinco medidas e precismoas calcular a média e o desvio padrão, vamos começar pela média através da fórmula abaixo:
Substituindo, temos:
Passo 2
O desvio padrão é dado por:
O desvio padrão é sempre legal calcular através da tabelinha abaixo, para não nos pedermos no meio de tantos numeros
Agora só colocar a soma dos quadrados das diferenças na fórmula e dividir pelo tamanho da amostra menos um:
SUCESSO!