117. As funções de onda que correspondem a estados de energia diferente da partícula em uma caixa são mutuamente ´´ ortogonais´´, no sentido que, se as duas funções de onda são multiplicadas, uma pela outra, e , então, integradas sobre a dimensão da caixa, o resultado é zero. (a) Confirme que as funções de onda de e ssao ortogonais. (b) Demonstre, sem fazer cálculos, que todas as funções de onda com n ímpar são ortogonais a todas as funções com n par.

Para verificar a ortogonalidade dessas duas funções de onda, multiplique-as e integre-as ao longo do comprimento da caixa:

Portanto, quando as funções de onda são multiplicadas e integradas ao longo do comprimento da caixa, o resultade é zero. Portanto, essas duas funções de onda são ortogonais.

Letra (b)

A função de onda do estado de energia de n ímpar é inalterada por uma reflexão através do centro da caixa e a função de onda do estado de energia de n igual altera o sinal em todos os lugares após a reflexão através do centro da caixa. Em um gráfico de protudo desses dois tipos de função de onda, a área acima do zero cancela exatamente a área abaixo de zero. Assim, a integral total do produto se torna zero e esses dois tipos de funções de onda se tornam ortogonais.