117. As funções de onda que correspondem a estados de energia diferente da partícula em uma caixa são mutuamente ´´ ortogonais´´, no sentido que, se as duas funções de onda são multiplicadas, uma pela outra, e , então, integradas sobre a dimensão da caixa, o resultado é zero. (a) Confirme que as funções de onda de n = 1 e n = 2 ssao ortogonais. (b) Demonstre, sem fazer cálculos, que todas as funções de onda com n ímpar são ortogonais a todas as funções com n par.

Passo 1

Letra (a)

Escreva a função de onda para uma partícula em uma caixa:

Ψ n x = 2 L sin ⁡ n π x L

Onde , L é o comprimento da caixa e n é o estado de energia.

Para o estado de energia n = 1 , a função de onda é a seguinte:

Ψ 1 x = 2 L sin ⁡ π x L

Para o estado de energia n = 2 , a função de onda é a seguinte:

Ψ 2 x = 2 L sin ⁡ 2 π x L

Passo 2

Para verificar a ortogonalidade dessas duas funções de onda, multiplique-as e integre-as ao longo do comprimento da caixa:

∫ 0 L Ψ 1 x Ψ 2 x d x = ∫ 0 L 2 L sin ⁡ π x L 2 L sin ⁡ 2 π x L d x

= 2 L . 1 2 ∫ 0 L 2 sin ⁡ π x L sin ⁡ 2 π x L d x

= 1 L ∫ 0 L cos ⁡ π x L - 2 π x L - cos ⁡ π x L + 2 π x L d x

= 1 L ∫ 0 L cos ⁡ π x L - cos ⁡ 3 π x L d x               cos ⁡ - x = cos ⁡ x

∫ 0 L Ψ 1 x Ψ 2 x d x = 1 L L s i n   π x L π - L s i n   3 π x L 3 π 0 L

= 1 L × L × 0  

= 0

Portanto, quando as funções de onda são multiplicadas e integradas ao longo do comprimento da caixa, o resultade é zero. Portanto, essas duas funções de onda são ortogonais.

Passo 3

Letra (b)

A função de onda do estado de energia de n ímpar é inalterada por uma reflexão através do centro da caixa e a função de onda do estado de energia de n igual altera o sinal em todos os lugares após a reflexão através do centro da caixa. Em um gráfico de protudo desses dois tipos de função de onda, a área acima do zero cancela exatamente a área abaixo de zero. Assim, a integral total do produto se torna zero e esses dois tipos de funções de onda se tornam ortogonais.

Resposta

  1. Demonstracao
  2. Demonstração
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