121. Os orbitais atômicos podem ser combinados para formar orbitais moleculares. Nestes orbitais, existe uma probabilidade diferente de zero de encontrar um elétron em qualquer um dos átomos que formam o orbital molecular. Suponha um elétron que está confinado em um orbital molecular que se estende a dois átomos de carbono adjacentes. O elétron pode se mover livremente entre dois átomos. A distância C-C é 139pm. (a) Use o modelo da partícula em uma caixa unidimensional para calcular a energia necessária para promover um elétron do nível n = 1 ao nível n = 2 , considerando que o comprimento da caixa é igual à distancia entre os dois átomos de carbono. (b) A que comprimento de onda de radiação isso corresponde? (c) Repita o cálculo para uma cadeia linear de 1000 átomos de carbono. (d) O que você pode concluir sobre a separação de energia entre os níveis quando o tamanho da cadeia de átomos aumenta?

Passo 1

A equação de energia para uma partícula de massa em uma caixa dimensional é a seguinte:

E n = n 2 h 2 8 m L 2

Aqui, E é a energia do elétron, n é o nível de energia, h é a constante de Planck, m é a massa do elétron e L é o comprimento da caixa.

A diferença de energia entre os níveis de energia é a seguinte:

E 2 - E 1 = 4 h 2 8 m L 2 - h 2 8 m L 2

E 2 - E 1 = 3 h 2 8 m L 2

Substituindo os valores:

E 2 - E 1 = 3 ( 6,626 × 10 - 34 J . s ) 2 8 ( 9,10939 × 10 - 31 K g ) ( 2,998 × 10 8 m . s - 1 ) 139 p m × 10 - 12 m 1 p m 2

E 2 - E 1 = 9,35 × 10 - 18 J

Assim, a energia necessária será 9,35 × 10 - 18 J   .

Passo 2

Letra (b)

A diferença de energia entre os níveis de energia é a seguinte:

E 2 - E 1 = 4 h 2 8 m L 2 - h 2 8 m L 2

E 2 - E 1 = 3 h 2 8 m L 2

Substituiondo E 2 - E 1 = h v

h v = 3 h 2 8 m L 2

Substitua os valores na equação a seguir para determinar o comprimento de onda:

λ = c v

= c 3 h 8 m L 2

= 8 m c L 2 3 h

= 8 × 9,109 × 10 - 31 × 2,998 × 10 8 m . s - 1 × 1,39 × 10 - 10 m 2 3 × 6,626 × 10 - 34 J . s

2,12 × 10 - 8 m × 1 n m 10 - 9 m

= 21,2   n m

Assim, o comprimento de onda será o 21,2   n m que se encontra nos raios X

Passo 3

Letra (c)

A diferença de energia entre os níveis de energia é a seguinte:

E 2 - E 1 = 4 h 2 8 m L 2 - h 2 8 m L 2

E 2 - E 1 = 3 h 2 8 m L 2

Aqui, o comprimento (L) da caixa é a distância entre 1000 átomos de carbono. Dois átomos de carbono têm distância 139 pm. A distância entre 1000 átomos de carbono é 1,39 × 10 5 p m .

L = 139 p m × 1000

L = 1,39 × 10 5 p m

Substituindo os valores:

E 2 - E 1 = 3 ( 6,626 × 10 - 34 J . s ) 2 8 ( 9,10939 × 10 - 31 K g ) ( 2,998 × 10 8 m . s - 1 ) 1,30 × 10 5 × 10 - 12 m 1 p m 2

E 2 - E 1 = 9,35 × 10 - 18 J

Assim, a energia necessária será 9,35 × 10 - 24 J   .

Passo 4

Letra (d)

Se o tamanho da cadeia de átomos aumenta, a distância entre os átomos diminui, assim um nível de energia se aproxima do próximo nível de energia.

Resposta

  1. 9,35 × 10 - 18 J
  2. 21,2   n m
  3. 9,35 × 10 - 24 J   .
  4. Explicação em texto
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