Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 15.Problemas Teóricos - Ex. 16
16 – Mostre que, num liquido, a média dos valores do campo magnético dipolar é zero, calculando o valor médio do campo pela eq. 15.28. Sugestão: O elemento de volume em coordenadas polares é senθ dθdφ.
Passo 1
Vamos começar então pegando a Eq. 15.28 do Atkins que é a seguinte
Onde,
-ℬnuc é o campo magnético do núcleo da partícula;
-γ é uma constante conhecida como a razão giromagnética do elétron;
-ħ é a constante de Planck, h, dividido por 2π:
-μ0 é permeabilidade no vácuo;
-R é a distância entre o elétron e o núcleo;
-θ é o ângulo de orientação da molécula;
-mI é o spin do elétron
Vamos fazer a seguinte definição
Assim, a Eq1 fica agora como:
Onde, k é uma constante que é independente do ângulo, pois todos os termos da equação definida para k são independentes do ângulo;
Passo 2
Para calcularmos o valor médio do campo magnético, podemos usar uma integração do campo magnético em um elemento de volume do liquido como foi sugerido, assim
Substituindo pela Eq.2:
Os intervalos de integração para θ é de 0 até π, enquanto que para o ângulo φ o intervalo é de 0 até 2π, assim:
Passo 3
Bom para você analisar a afirmação de que o valor médio do campo é zero, você pode pegar a integral em relação a θ e calcular seu valor para o intervalo estabelecido.
Para resolvermos essa integral podemos fazer as seguintes substituições simples para facilitar a resolução deixando a integral com uma função em que se conhece a sua integral:
Assim,
Resolvendo a integral:
Substituindo,
Substituindo os valores:
Logo,
Consequentemente