18 – Com os conceitos do Problema 15.17, mostre que, se G(t) = [acos(ω1t) + bcos(ω2t)]exp(-t/τ), o espectro tem duas linhas com as intensidades proporcionais a a e b localizadas em ω=ω1 e ω=ω2, respectivamente.

Passo 1

Neste exercício você vai precisar, antes de resolve-lo, ter feito a questão 15.17 como foi mencionado no enunciado sobre os conceitos do problema 15.17.

Então, seguindo o mesmo passo a passo do problema 15.17 você vai conseguir chegar em uma relação onde a intensidade é proporcional as constantes a e b localizadas em ω=ω1 e ω=ω2, respectivamente.

Passo 2

Do problema 15.17:

G ∝ cos ⁡ ω 0 t

O resultado obtido para a intensidade foi:

I ω = 1 2 a R e 1 ω 0 - 1 τ + i ω - 1 - ω 0 - 1 τ + i ω

Como

1 2 a R e = c t e

Sendo assim

I ω ∝ 1 ω 0 - 1 τ + i ω - 1 - ω 0 - 1 τ + i ω

Passo 3

Agora tendo para G(t) a seguinte expressão:

G t = ∝ a cos ⁡ ω 1 t + b cos ⁡ ω 2 t

E pelo problema 15.17:

I ω ∝ ∫ 0 ∞ G t exp ⁡ i ω t d t

Assim,

I ω ∝ ∫ 0 ∞ a cos ⁡ ω 1 t + b cos ⁡ ω 2 t exp ⁡ - t τ exp ⁡ i ω t d t

Passo 4

Podemos dividir a integral acima em duas:

I ω ∝ ∫ 0 ∞ a cos ⁡ ω 1 t exp ⁡ - t τ exp ⁡ i ω t d t + ∫ 0 ∞ b cos ⁡ ω 2 t exp ⁡ - t τ exp ⁡ i ω t d t

Resolvendo então estas duas integrais, nós vamos chegar no mesmo resultado obtido do problema 15.17, mas agora a intensidade será:

I ω ∝ a 1 ω 0 - 1 τ + i ω 1 - 1 - ω 0 - 1 τ + i ω 1 + b 1 ω 0 - 1 τ + i ω 2 - 1 - ω 0 - 1 τ + i ω 2

Com essa equação é possível ver que a intensidade I é diretamente proporcional as constantes a e b, consistindo de duas linhas no espectro com uma linha em ω = ω1, para a, e na outra linha, ω = ω2, para b.

Resposta

I ω ∝ a 1 ω 0 - 1 τ + i ω 1 - 1 - ω 0 - 1 τ + i ω 1 + b 1 ω 0 - 1 τ + i ω 2 - 1 - ω 0 - 1 τ + i ω 2

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