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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 15.Problemas Teóricos - Ex. 17

17 – A forma de uma linha espectral, I(ω), está relacionada com o sinal de decaimento livre de indução, G(t), por

I ω = a R e ∫ 0 ∞ G t exp ⁡ i ω t d t

Onde, a é uma constante e Re é a parte real da função. Calcule a forma da linha correspondente a uma função de decaimento oscilante

G t = cos ⁡ ω 0 t exp ⁡ - t τ

Passo 1

Este exercício é um exercício que você terá que, simplesmente, resolver a integral definida dada no enunciado conforme a expressão de G(t) fornecida.

Assim, você vai ter que relembrar algumas técnicas de integração, mais precisamente técnicas envolvendo integração definida.

Passo 2

Então, vamos lá integrar.

Pegando a expressão do enunciado:

I ω = a R e ∫ 0 ∞ G t exp ⁡ i ω t d t

Onde,

G t = cos ⁡ ω 0 t exp ⁡ - t τ

Substituindo na integral:

I ω = a R e ∫ 0 ∞ cos ⁡ ω 0 t exp ⁡ - t τ exp ⁡ i ω t d t

Podemos escrever os dois termos da função exponencial em um só da seguinte forma

exp ⁡ - t τ exp ⁡ i ω t = exp ⁡ - t τ + i ω t

Assim,

I ω = a R e ∫ 0 ∞ cos ⁡ ω 0 t exp ⁡ - t τ + i ω t d t

Passo 3

Sendo

cos ⁡ ω 0 t = 1 2 exp i ⁡ - ω 0 t + exp i ⁡ ω 0 t

Assim, substituindo

I ω = 1 2 a R e ∫ 0 ∞ exp i ⁡ - ω 0 t + exp i ⁡ ω 0 t exp ⁡ - t τ + i ω t d t

Os termos em exponencial podemos junta-los em um só:

exp i ⁡ - ω 0 t exp ⁡ - t τ + i ω t = exp ⁡ - ω 0 t - t τ + i ω t

Analogamente,

exp i ⁡ ω 0 t exp ⁡ - t τ + i ω t = exp ⁡ ω 0 t - t τ + i ω t

Assim, a integral fica agora como:

I ω = 1 2 a R e ∫ 0 ∞ exp ⁡ - ω 0 t - t τ + i ω t + exp ⁡ ω 0 t - t τ + i ω t d t

Passo 4

Vamos agora integrar as funções exponenciais:

∫ 0 ∞ exp ⁡ - ω 0 t - t τ + i ω t d t = 1 - ω 0 - 1 τ + i ω exp ⁡ - ω 0 t - t τ + i ω t ∞ 0

Aplicando os valores do intervalo:

∫ 0 ∞ exp ⁡ - ω 0 t - t τ + i ω t d t = 0 - 1 - ω 0 - 1 τ + i ω

Analogamente:

∫ 0 ∞ exp ⁡ ω 0 t - t τ + i ω t d t = 1 ω 0 - 1 τ + i ω exp ⁡ ω 0 t - t τ + i ω t ∞ 0

∫ 0 ∞ exp ⁡ ω 0 t - t τ + i ω t d t = 1 ω 0 - 1 τ + i ω - 0

Passo 5

Como

I ω = 1 2 a R e ∫ 0 ∞ exp ⁡ - ω 0 t - t τ + i ω t + exp ⁡ ω 0 t - t τ + i ω t d t

Assim,

I ω = 1 2 a R e 1 ω 0 - 1 τ + i ω - 1 - ω 0 - 1 τ + i ω

Resposta

I ω = 1 2 a R e 1 ω 0 - 1 τ + i ω - 1 - ω 0 - 1 τ + i ω

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