Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 15.Aplicações - Ex. 26
26 – Você está projetando um espectrômetro de IRM. Qual é o gradiente de campo (microtesla por metro, μT m-1) necessário para produzir uma separação de 100 Hz entre dois prótons separados pelo longo diâmetro de um rim humano (considere como 8 cm), dado que eles se encontram em ambientes com δ=3,4? O campo de ressonância do espectrômetro está em 400 MHz e o campo aplicado é 9,4 T.
Passo 1
Para este problema, nós teremos que trabalhar com algumas equações que provavelmente foram vistas por você no capítulo 15 do Atkins.
Começando, vamos ver como determinar este gradiente de campo necessário para uma frequência de 100 Hz. O gradiente de campo é a diferença dos campos magnéticos locais dividido pela distância entre os prótons que será a variação do campo magnético com a distância, que no caso tem-se a distância como o diâmetro do rim humano.
Assim, o gradiente de campo pode ser escrito como:
Onde,
-, é o gradiente de campo;
- e , são os campos magnéticos locais para os dois prótons;
-d é a distância entre os prótons, o diâmetro do rim humano;
Passo 2
Vamos precisar determinar os campos magnéticos locais.
Para isso, podemos utilizar a eq. de Larmor que é usada para o cálculo da frequência de Larmor, νL, cuja expressão é:
Onde,
-νL é a frequência de ressonância de Larmor;
-γN é a razão giromagnética;
-ℬloc é o campo magnético local
Assim, para o campo magnético local, isolando ℬloc na equação anterior:
Para os dois campos magnéticos, ℬ1 e ℬ2, tem-se que
Assim, a diferença entre os campos será:
Onde a diferença νL2- νL1 é exatamente a separação de 100 Hz entre os prótons
Passo 3
Só precisamos agora do valor da razão giromagnética, γN, para calcularmos o gradiente de campo.
Para isso podemos usar as informações dadas sobre a frequência ressonância do espectrômetro e o campo magnético aplicado sobre ele, que são 400 MHz e 9,4 T, respectivamente. Podemos usar a mesma expressão de Larmor:
Onde agora
O campo local é relacionado com o campo aplicado da seguinte forma:
Onde,
-ℬ0 é o campo aplicado, ℬ0=9,4 T;
-ℬ é o campo no núcleo;
-δ é o deslocamento químico, δ=3,4;
Não temos o campo no núcleo mas temos uma relação entre o campo no núcleo e o campo aplicado que é:
Onde, σ é a constante de blindagem do núcleo.
Assim, para o campo local:
Passo 4
Substituindo essa relação na eq. de Larmor:
O valor da constante de blindagem, σ, é normalmente muito pequeno, tendo valores da escala de poucas partes por milhão (10-6), assim sendo, possui valor muito menor que 1, e portanto podemos fazer o seguinte
Com isso,
Passo 5
Isolando γN na equação anterior
Aplicando os valores
Agora só falta calcular o gradiente
Passo 6
Calculando a diferença de campos:
Aplicando os valores
O gradiente será então:
Onde, d é o diâmetro que separa os dois prótons, assim