Verifique que as funções de onda de uma partícula sobre um anel circular, com diferentes valores do número quântico m, são mutuamente ortogonais.

Simbora!

Vamo ter que testar a ortogonalidade dessa funções, assim, teremos:

Isso, se .

Temos as funções de onda para uma partícula em uma anel circular sendo:

Assim, pela integral, teremos:

Assim, resolvendo, teremos:

Ou seja, são ortogonais! Lembrando que, temos de ter .