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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 41

41. A dependência da capacidade calorifica de uma substancia com a temperatura é normalmente escrita na forma C P , m = a + b T + C / T 2 , em que a, b e c são constantes. Obetenha uma expressão para variação de entropia quando a substancia é aquecidade de T1 a T2. Calcule a variação para o caso da grafita, para a qual a = 16,86   J .   K - 1 m o l - 1 ,   b = 4,77 m J . K - 2 m o l - 1   e   c =   - 8,54   J . K . m o l - 1 , aquecidade de 298 K até 400 K. Qual é o erro percentual quando se considera que a capacidade calorifica é constante e igual a seu valor médio nesta faixa?

Passo 1

Sabemos que:

d S = d q r e v T

Em que d q r e v = C p , m d T , então:

d S = C p , m d T T

Integrando ambos os lados da equação de um estado 1 até um estado 2, teremos:

∆ S = ∫ T 1 T 2 C p , m d T T

Passo 2

Como foi dito no enunciado que C P , m = a + b T + C / T 2 podemos substituir na equação:

∆ S = ∫ T 1 T 2 ( a + b T + C / T 2 ) d T T

∆ S = ∫ T 1 T 2 a T + b + C T 3 d T

∆ S = a l n T + b T - C 2 T 2 T 1 T 2

∆ S = a l n   T 2 T 1 + b   T 2 - T 1 - c 2 1 T 2 2 - 1 T 1 2

Passo 3

Para o caso da grafita a partir da equação acima teremos que:

∆ S = 16,86   l n   400 298 + 0,00477   400 - 298 - ( - 8,54 x 10 5 ) 2 1 400 2 - 1 298 2

∆ S = 3,31 J m o l   K

Passo 4

Para calcular o valor médio da capacidade calorífica, basta tirar a média das temperaturas dadas e substituir na equação da capacidade calorifica dada. Assim:

C P , m = a + b T + C T 2

C P , m = 16,86 + 0,00477 349 + - 8,54 x 10 5 349 2

C P , m = 11,51 J m o l   k

A partir daí, podemos calcular a variação de entropia como:

∆ S = ∫ T 1 T 2 11,51 d T T

∆ S = 11,51 ln ⁡ T 2 T 1 = 11,51 ln ⁡ 400 298 = 3,389 J m o l   K

O erro percentual quando não se usa a integral é dado por:

E % = 3,389 - 3,31 3,31 = 2,39   %

Resposta

∆ S = a l n   T 2 T 1 + b   T 2 - T 1 - c 2 1 T 2 2 - 1 T 1 2

∆ S = 3,31 J m o l   K

E % = 2,39   %

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