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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 5

8.5 Imagine que a capacidade calorífica de um gás ideal não depende da temperatura e calcule a variação de entropia associada ao aumento reversível de temperatura de 1,00 mol de um gás monoatômico ideal, de 37,6°C, até 157,9°C, (a) em pressão constante e (b) em volume constante.

Passo 1

(a) A relação que vamos usar é

d S = d q r e v T

Como é a pressão constante, podemos substituir

d q r e v = n C p d T

Substituindo

d S = n C p d T T

Como a capacidade calorífica não depende da temperatura, vamos ver o que fazermos com ela depois e considerar ela uma constante nas integrais que temos pra resolver.

Aplicando integral dos dois lados, ficamos com

∫ S 1 S 2 d S = ∫ T 1 T 2 n C p d T T  

Vamos puxar só um pouco de cálculo para resolver

A integral do lado esquerdo é só substituir, praticamente.

∫ S 1 S 2 d S = S 2 - S 1

A do lado direito parece mais complicada, mas é uma integral bem conhecida, pois n e Cp são constantes, então podemos tirar da integral

n C p ∫ T 1 T 2 1 T   d T = n C p [ ln ⁡ T ] T 1 T 2   = n C p ln ⁡ T 2 - ln ⁡ T 1

Vamos só puxar mais um pouquinho pra matemática e lembrar que

ln ⁡ T 2 - ln ⁡ T 1 = ln ⁡ T 2 T 1

Substituindo, ficamos com

S 2 - S 1 = n C p ln ⁡ T 2 T 1

Falta só o Cp, que vamos puxar para o capítulo anterior que ele diz que é 5/2 R. E já vamos substituir também quer S 2 - S 1 = ∆ S .

∆ S = n × 5 2 R × ln ⁡ T 2 T 1

Como já sabemos (é meio que um feeling, ne) que a unidade de entropia é Joule por kelvin, usamos um valor de R apropriado.

R = 8,314 J m o l   K

Convertendo as temperaturas para Kelvin

T 1 = 273 + 37,6 = 310,6   K

T 2 = 273 + 157,9 = 430,9   K

Substituindo os valores

∆ S = 1   m o l × 5 2 8,314 J m o l   K × ln ⁡ 430,9   K 310,6   K

∆ S = 6,8   J / K

Passo 2

(b) Para volume constante fazemos praticamente a mesma coisa, a única coisa que muda é o C, que agora é 3/2 R.

∆ S = n × C v × ln ⁡ T 2 T 1

∆ S = n × 3 2 R × ln ⁡ T 2 T 1

Substituindo os valores

∆ S = 1   m o l × 3 2 8,314 J m o l   K × ln ⁡ 430,9   K 310,6   K

∆ S = 4,1   J / K

Resposta

(a) ∆ S = 6,8   J / K

(b) ∆ S = 4,1   J / K

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