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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 13.Aplicações - Ex. 32

O íon molecular H foi encontrado recentemente no espaço interestelar enas atmosferas de Júpiter, Saturno e Urano. Os níveis de energia de rotação do H que pode ser considerado um rotor simétrico oblato, são dados pela eq. 13.29, com C em lugar de A, ignorando-se a distorção centrifuga e outras complicações. Os valores medidos das constantes de rotação e de vibração são v ~ (E’) = 2521,6 cm-1, B= 43,55 cm-1, e C= 20.71 cm-1

(a) Mostre que, para uma molécula plana não-linear como o H3+, se tem I c = 2 I B . As grandes diferenças observadas em relação aos valores experimentais se devem aos fatores ignorados pela eq. 13,29.

(b) Estime o valor aproximado do comprimento da ligação H-H no H3+.

(c) O valor de Re, obtido por cálculo quântico bastante exato é 87,32 pm. Use esse resultado para estimar os valores das constantes de rotação B e C.

(d) Admitindo que a geometria e a constante de força sejam idênticas no D3+ e H3+., calcule as constantes espectroscópicas do D3+.

Passo 1

E aii, galera! Pensando aqui, sabemos que a molécula H3+ é mantida unida por uma ligação de dois elétrons e três centros e, portanto, espera-se que sua estrutura seja um triângulo equilátero. Olhando para a Figura 13.8 e usando a lei dos cossenos:

R ² = 2 R C ² - 2 R C 2 cos ⁡ ( 180 ° - 2 θ ) = 2 R C ² - ( 1 - cos ⁡ ( 12 0 ° ) ) = 3 R C ²

Por isso, teremos:

R c = R 3 ,

I c = 3 m R C 2 = 3 m R 3 2 = m R 2

I B = 2 m R B = 2 m R 2 2 = m R 2 2

Por isso, temos:

I C = 2 I B

Passo 2

Para a letra b, nós temos que pensar na equação 13.30:

B = h 4 π c l B = 2 h 4 π c m R 2 = h 2 π c m R 2   13.30

Além disso, temos:

R =   h 2 π c l B 1 2 = h N A 2 π c M H B 1 2

= 1,0546 * 10 - 34 J . s * 6,0221 * 10 23 m o l - 1 * 10 - 2 m . c m - 1 2 π 2,998 * 10 8 m . s - 1 * 0,001008   k g . m o l - 1 * 43,55   c m - 1 1 2

= 8,764 * 10 - 11 m ,   l o g o ,   R = 87,64 p m

Por outro lado, a constante C também pode ser usada para calcular R:

C = h 4 π c l C = h 4 π c m R 2 13.30

Ou seja,

R =   h 4 π c m C 1 2 = h N A 4 π c M H C 1 2

= 1,0546 * 10 - 34 J . s * 6,0221 * 10 23 m o l - 1 * 10 - 2 m . c m - 1 4 π 2,998 * 10 8 m . s - 1 * 0,001008   k g . m o l - 1 * 20,71   c m - 1 1 2

= 8,986 * 10 - 11 m ,   l o g o ,   R = 89,86   p m

Passo 3

Os valores de R calculados com a constante rotacional C ou a constante rotacional B diferem ligeiramente. Vamos aproximar o comprimento da ligação como a média desses dois.

R ≈ 87,64 + 89,86 p m 2 = 88,7   p m

B = 1,0546 * 10 - 34 J . s * 6,0221 * 10 23 m o l - 1 * 10 - 2 m . c m - 1 2 π 2,998 * 10 8 m . s - 1 * 0,001008   k g . m o l - 1 * 87,32 * 10 - 12   m 2

B = 43,87   c m - 1

E, da mesma forma:

C = 1 2 B = 21,93   c m - 1

Além disso, como sabemos:

1 m e f f = 3 m   o u   m e f f = 1 3 m

Temos também que m D = 2 m H ,     m e f f , D = 2 m H 3 e, logo:

v 2 ~ D 3 + = m e f f H 3 m e f f D 3 1 2 v 2 ~ H 3   e q   13.51 = m H 3 2 m H 3 1 2 v 2 ~ H 3 = v 2 ~ H 2 2 1 2 = 2521,6 c m - 1 2 1 2 = 1783,0   c m - 1

Então,

v 2 ~ D 3 + = 1783,0   c m - 1

Passo 4

Assim, podemos finalizar:

Se tivermos B e C proporcionais a 1/m em que m é igual a massa de H ou D, teremos:

B D 3 + = B H 3 + * M H M D = 43,55   c m - 1 * 1,008 2,014 = 21,80   c m - 1

E, por fim:

C D 3 + = C H 3 + * M H M D = 20,71   c m - 1 * 1,008 2,014 = 10,37   c m - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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