11a – Confirme se o operador Iz = (ħ/i) (d/dφ), onde φ é um ângulo, é hermitiano.
Passo 1
Vamos relembrar que um operador hermitiano é um operador pelo qual segue a seguinte relação:
Onde,
Passo 2
Vamos fazer a confirmação do operador Iz como sendo um operador hermitiano usando integração por partes. Lembrando que integração por partes é definida como:
Assim, aplicando para o operador:
Passo 3
Sendo
A igualdade acima é válida pois todas as funções de onda são nulas no infinito em ambas as direções.
Consequentemente,
Em termos de módulo, ou seja, valores absolutos:
Onde,
Portanto,
Logo, o operador Iz é um operador hermitiano.