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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 11a

11a – Confirme se o operador Iz = (ħ/i) (d/dφ), onde φ é um ângulo, é hermitiano.

Passo 1

Vamos relembrar que um operador hermitiano é um operador pelo qual segue a seguinte relação:

∫ - ∞ ∞ ψ i I z ψ j d ϕ = ∫ - ∞ ∞ ψ j I z ψ i d ϕ

Onde,

I z ψ j = ħ i d ψ j d ϕ

I z ψ i = ħ i d ψ i d ϕ

Passo 2

Vamos fazer a confirmação do operador Iz como sendo um operador hermitiano usando integração por partes. Lembrando que integração por partes é definida como:

∫ f d g d x d x = f g - ∫ f d f d x d x

Assim, aplicando para o operador:

∫ - ∞ ∞ ψ i I z ψ j d ϕ = ħ i ∫ - ∞ ∞ ψ i d ψ j d ϕ d ϕ

ħ i ∫ - ∞ ∞ ψ i d ψ j d ϕ d ϕ = ħ i ψ i ψ j ∞ - ∞ - ħ i ∫ - ∞ ∞ ψ j d ψ i d ϕ d ϕ

Passo 3

Sendo

ħ i ψ i ψ j ∞ - ∞ = 0

A igualdade acima é válida pois todas as funções de onda são nulas no infinito em ambas as direções.

Consequentemente,

ħ i ∫ - ∞ ∞ ψ i d ψ j d ϕ d ϕ = - ħ i ∫ - ∞ ∞ ψ j d ψ i d ϕ d ϕ

Em termos de módulo, ou seja, valores absolutos:

ħ i ∫ - ∞ ∞ ψ i d ψ j d ϕ d ϕ = ħ i ∫ - ∞ ∞ ψ j d ψ i d ϕ d ϕ

Onde,

ħ i ∫ - ∞ ∞ ψ i d ψ j d ϕ d ϕ = ∫ - ∞ ∞ ψ i I z ψ j d ϕ

ħ i ∫ - ∞ ∞ ψ j d ψ i d ϕ d ϕ = ∫ - ∞ ∞ ψ j I z ψ i d ϕ

Portanto,

∫ - ∞ ∞ ψ i I z ψ j d ϕ = ∫ - ∞ ∞ ψ j I z ψ i d ϕ

Logo, o operador Iz é um operador hermitiano.

Resposta

∫ - ∞ ∞ ψ i I z ψ j d ϕ = ∫ - ∞ ∞ ψ j I z ψ i d ϕ

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