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Exercícios Resolvidos de Subespaços Invariantes

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Exercício 2134

Enunciado

Seja T : R 3 ⟶ R 3 a reflexão (espelhamento) em relação ao plano π e

T γ = - 1 0 - 2 2 1 2 0 0 1

A matriz de T na base γ = { v 1 ,   v 2 , v 3 } de R 3 .

Dê um exemplo de um subespaço vetorial H de R 3 tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:

  • H não é autoespaço de T , mas é invariante por T
  • dim ⁡ H = 2

Passo 1

d   Uma possível solução é juntar autovetores de autoespaços diferentes, assim esse novo conjunto não é um autoespaço e satisfaz a condição de invariante e da dimensão 2 .

Então vamos achar os autovalores com T γ !

T γ - λ I = - 1 - λ 0 - 2 2 1 - λ 2 0 0 1 - λ

det ⁡ T γ - λ I = - 1 - λ 1 - λ 2 = 0 ⇒ λ = - 1   o u   λ = 1

Passo 2

Para λ = 1

- 2 0 - 2 2 0 2 0 0 0 a b c = 0 ⇒

- 2 a - 2 c = 0 2 a + 2 c = 0 ⇒ a = - c

x , y , z = a v 1 + b v 2 + c v 3 ⇒

x , y , z = c v 3 - v 1 + b v 2

V λ = 1 = s p a n { v 3 - v 1 , v 2 }

Passo 3

Para λ = - 1

0 0 - 2 2 2 2 0 0 2 a b c = 0

- 2 c = 0 ⇒ c = 0 2 a + 2 b + 2 c = 0 ⇒ a = - b 2 c = 0

x , y , z = - b v 1 + b v 2 = b ( - v 1 + v 2 )

V λ - 1 = s p a n { - v 1 + v 2 }

Passo 4

Assim, se pegarmos H = s p a n { - v 1 + v 2 , v 2 } , esse não será o autoespaço de nenhum autovalor e ainda satisfaz a condição de invariante.

T H = s p a n T - v 1 + v 2 , T v 2 = s p a n   - 1 - v 1 + v 2 , v 2 ⊂ H

Resposta

H = s p a n { - v 1 + v 2 , v 2 }