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Subespaços Invariantes

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Teoria

Você lembra o que é uma transformação linear? É uma função só que com as condições da linearidade, e aí da pra fazer um monte de coisas com vetores, e outros espaços vetoriais.

Bom, vou fazer uma pergunta meio aleatória agora.

Sendo T : U ⟶ U , existe algum subespaço V ⊂ U que satisfaça T V = V ?? Ou seja, que o espaço gerado pelos vetores depois de terem passado pela transformação linear seja o mesmo de antes

O que é o subespaço T ( V ) ??? Bom, acho que fica meio implícito e já deve ter aparecido em algumas questões ou livros, mas, se não, vamos explicar agora.

Por exemplo, se V = s p a n 1,0 , ( 2,1 ) , ou seja, V é gerado por   ( 1,0 ) e ( 2,1 ) . O nosso T ( V ) seria: s p a n T 1,0 , T ( 2,1 ) . Sacou? Então, é só aplicar T em cada um dos geradores do espaço em questão.

Agora que já entendemos a pergunta, vamos pensar em algum exemplo de transformação.

T x , y = ( 2 x , 2 y )

T V = s p a n T 1,0 , T ( 2,1 ) ⇒

T V = s p a n 2,0 , ( 4,2 )

Ihhh caramba deu diferente, então não é igual né?

Lembre-se da definição de s p a n ! Podemos ver que o conjunto de vetores { 1,0 , ( 2 , 1 ) } é múltiplo de { 2,0 , ( 4,2 ) } e, portanto, geram o mesmo espaço (plano). Assim concluímos que s p a n 1,0 , ( 2,1 ) = s p a n 2,0 , ( 4,2 ) .

Logo, podemos afirmar que:

T V = V

Chamamos os espaços que satisfazem essa condição de subespaços invariantes. Vamos formalizar.

Agora vamos ver como essa coisa que acabamos de aprender se relaciona com autovalores e autovetores!

Na verdade quando falamos de subespaços invariantes, estamos falando de autoespaços! Lembra que os autovetores são aqueles que depois de aplicados na transformação, viram múltiplos dos vetores iniciais? Foi exatamente isso que aconteceu no nosso subespaço invariante.

Repare só! Se pegarmos o autoespaço:

V λ = 2 = s p a n 1,0 , ( 2,1 ) ∴

T V λ = 2 = s p a n T 1,0 , T ( 2,1 ) = s p a n 2,0 , ( 4,2 ) = s p a n 1,0 , ( 2,1 )

Fato: Autoespaços são subespaços invariantes.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Lista de monitoria 2 para a P3, 2015.1, exercício 4, Álgebra Linear I.

Construa uma transformação linear T : R 3 ⟶ R 3 satisfazendo as seguintes condições:

  • Algum subespaço U ⊂ R 3 tal que dim ⁡ T U = 1
  • T U ⊂ U

Passo 1

Bom, existem vários jeito de resolver essa questão. Qualquer T L que satisfaça as condições do enunciado tá valendo!

O que a questão está pedindo é exatamente um subespaço invariante! Só que com a dim ⁡ T U = 1 . Mas lembra que autoespaços também são subespaços invariantes? Então, um possível jeito de resolver essa questão, é montar uma T , que possui um autovalor λ ≠ 0 e pegar um dos seus autovetores e formar nosso espaço U .

Passo 2

Assim, vamos chutar essa T aqui:

T x , y , z = ( x , 0 , 0 )

Podemos ver que nessa T :

T 1,0 , 0 = ( 1,0 , 0 )

T 2,0 , 0 = 2,0 , 0

⋮

T x , 0,0 = 1 ⋅ ( x , 0,0 )

E assim podemos ver que ( 1,0 , 0 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1 . Não necessariamente só temos ( 1,0 , 0 ) como autovetor desse autovalor, mas isso não importa, pois a condição do exercício já está feita!

Passo 3

Seja U = s p a n 1,0 , 0 . Então T U = s p a n T 1,0 , 0 = s p a n 1,0 , 0 ∴ dim ⁡ T U = 1 .

Resposta

Uma possível T é T x , y , z = ( x , 0 , 0 ) , com U sendo U = s p a n 1,0 , 0 .

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P3-2014.1-3d

Seja T : R 3 ⟶ R 3 a reflexão (espelhamento) em relação ao plano π e

T γ = - 1 0 - 2 2 1 2 0 0 1

A matriz de T na base γ = { v 1 ,   v 2 , v 3 } de R 3 .

Dê um exemplo de um subespaço vetorial H de R 3 tal que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:

  • H não é autoespaço de T , mas é invariante por T
  • dim ⁡ H = 2

Passo 1

d   Uma possível solução é juntar autovetores de autoespaços diferentes, assim esse novo conjunto não é um autoespaço e satisfaz a condição de invariante e da dimensão 2 .

Então vamos achar os autovalores com T γ !

T γ - λ I = - 1 - λ 0 - 2 2 1 - λ 2 0 0 1 - λ

det ⁡ T γ - λ I = - 1 - λ 1 - λ 2 = 0 ⇒ λ = - 1   o u   λ = 1

Passo 2

Para λ = 1

- 2 0 - 2 2 0 2 0 0 0 a b c = 0 ⇒

- 2 a - 2 c = 0 2 a + 2 c = 0 ⇒ a = - c

x , y , z = a v 1 + b v 2 + c v 3 ⇒

x , y , z = c v 3 - v 1 + b v 2

V λ = 1 = s p a n { v 3 - v 1 , v 2 }

Passo 3

Para λ = - 1

0 0 - 2 2 2 2 0 0 2 a b c = 0

- 2 c = 0 ⇒ c = 0 2 a + 2 b + 2 c = 0 ⇒ a = - b 2 c = 0

x , y , z = - b v 1 + b v 2 = b ( - v 1 + v 2 )

V λ - 1 = s p a n { - v 1 + v 2 }

Passo 4

Assim, se pegarmos H = s p a n { - v 1 + v 2 , v 2 } , esse não será o autoespaço de nenhum autovalor e ainda satisfaz a condição de invariante.

T H = s p a n T - v 1 + v 2 , T v 2 = s p a n   - 1 - v 1 + v 2 , v 2 ⊂ H

Resposta

H = s p a n { - v 1 + v 2 , v 2 }

Exercício Resolvido #3

Lista 1 para a P3, exercício 5, 2015.1, Álgebra linear I, PUC-rio, adaptado.

Seja λ ∈ R um autovalor de T : U ⟶ U . O autoespaço de T associado a λ é o conjunto

V λ = u ∈ U T u = λ u }

Prove que V λ é um subespaço invariante de T .

Passo 1

Para verificar que é um subespaço invariante, precisamos ver se o autoespaço satisfaz a condição de subespaço invariante:

Vamos verificar!

Sejam u 1 , … , u k autovetores associados a λ 1 . Sabemos que V λ = s p a n { u 1 , … , u k } (lembre-se que o autoespaço contém o vetor nulo!). Então,

T u 1 = λ 1 u 1

⋮

T u k = λ 1 u k

Passo 2

Assim,

T V λ 1 = T s p a n u 1 , … , u k = s p a n T u 1 , … , T u k =

= s p a n λ 1 u 1 , … , λ 1 u k = s p a n u 1 , … , u k = V λ 1

Portanto, se T V λ 1 = V λ 1 , então T V λ 1 ⊂ V λ 1 , para λ 1 ≠ 0 .

Se λ 1 = 0 então T V λ 1 = s p a n 0 ⊂ V λ 1 .

Como V λ 1 ⊂ U e T V λ 1 ⊂ V λ 1 ,   V λ 1 é um subespaço invariante.

Passo 3

-

Como a demonstração é válida para cada autovalor em particular, concluímos que V λ ⊂ U e T V λ ⊂ V λ , portanto   V λ é um subespaço invariante.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)