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Enunciado

Termodinâmica - Van Wylen- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 60

5.60 Um perfil de velocidade aproximadamente parabólico foi usado no Poblema 5.11 para modelar o escoamento de uma camada-limite laminar e incompressível sobre uma placa plana. Para este perfil, encontre a componente x da aceleração, a x , de uma partícula fluida dentro da camada-limite. Trace a x para a posição x = 0,8   m , em que δ = 1,2   m m , para um escoamento com U = 6 m s . Determine o máximo valor de a x nesta posição x.

Passo 1

Da questão 5.11 temos (já tirando o π que tem errado na outra questão)

u U = 2 y δ - y δ 2

u = 2 U y δ - U y δ 2

v U = δ x 1 2 y δ 2 - 1 3 y δ 3

v = U 2 y 2 x δ - U 3 y 3 x δ 2

Como δ = c x , em que c é constante

u = 2 U y c x 1 2 - U y c x 1 2 2

u = 2 U y c x 1 2 - U y 2 c 2 x

v = 1 2 y 2 x c x 1 2 - 1 3 y 3 x c x 1 2 2

v = U y 2 2 c x 3 2 - U y 3 3 c 2 x 2

Para a componente x da aceleração da partícula

a → p , x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Como não tem componente z e considerando regime permanente

w ∂ u ∂ z = 0

∂ u ∂ t = 0

Então

a → p , x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y

Calculando as derivadas parciais primeiro

∂ u ∂ x = - 1 2 2 U y c x 3 2 - - 1 U y 2 c 2 x 2 = U y 2 c x 2 - U y c 2 x 3 2

∂ u ∂ y = 2 U c x 1 2 - 2 U y c 2 x

Substituindo

a → p , x = 2 U y c x 1 2 - U y 2 c 2 x U y 2 c x 2 - U y c 2 x 3 2 + U y 2 2 c x 3 2 - U y 3 3 c 2 x 2 2 U c x 1 2 - 2 U y c 2 x

a → p , x = 2 U 2 y 3 c 2 x 5 2 - 2 U 2 y 2 c 3 x 2 - U 2 y 4 c 3 x 3 + U 2 y 3 c 4 x 5 2

+ U 2 y 2 c 2 x 2 - U 2 y 3 c 3 x 5 2 - 2 3 U 2 y 3 c 3 x 5 2 + 2 3 U 2 y 4 c 4 x 3

a → p , x = 2 U 2 y 3 c 2 x 5 2 - 2 U 2 y 2 c 3 x 2 - U 2 y 4 c 3 x 3 + U 2 y 3 c 4 x 5 2 + U 2 y 2 c 2 x 2 - U 2 y 3 c 3 x 5 2 - 2 3 U 2 y 3 c 3 x 5 2 + 2 3 U 2 y 4 c 4 x 3

Se chamarmos c x 1 2 = δ

a → p , x = 2 U 2 y 3 x 2 δ 2 - 2 U 2 y 2 x 1 2 δ 3 - U 2 y 4 x 3 2 δ 3 + U 2 y 3 c 4 x 5 2 + U 2 y 2 c 2 x 2 - U 2 y 3 c 3 x 5 2 - 2 3 U 2 y 3 c 3 x 5 2 + 2 3 U 2 y 4 c 4 x 3

Passo 2

Os valores máximos das componentes da aceleração são quando y = δ

a p , x m á x = - 1 4 U 2 δ 2 x y δ 2 = - 1 4 U 2 x    

a p , y m á x = - 1 4 U 2 δ 3 x 2 δ 2 = - 1 4 U 2 δ x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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