Enunciado

69- Uma mina de sal abandonada, com volume interno de 100   000   m 3 , contém ar a 100   k P a e 290   K . A mina deve ser utilizada como reservatório de ar comprimido numa instalação. Propõe-se a utilização de um compressor que aspira ar do ambiente ( 290   K   e   100   k P a ) e que descarrega o ar na mina a 2.1   M P a .

Admitindo que o compressor seja ideal e que o processo de compressão seja adiabático, determine a massa que pode ser armazenada e a temperatura do ar no final do enchimento da mina.

Se durante a noite a temperatura do ar na mina cair para 400   K , calcule a pressão final e a transferência de calor neste processo.

Passo 1

Atenção, antes de fazer essa questão coloque o capacete pois estaremos entrando na mina dos anões

Créditos: JakobHansson no Pinterest a arte ficou irada

Como dito na questão a mina deve ser usada como estoque de ar comprimido e inicialmente o ar dentro dela tem o seguinte estado

V 1 = 100   000   m 3 ; P 1 = 100   k P a ; T 1 = 290   K

O que nos dá uma massa de ar inicial igual a ( R = 0.287   k J / k g K pela tabela A . 5 ) :

m 1 = P 1 V 1 R T 1 = 100 × 100   000 0.287 × 290 = 120.149 × 10 3   k g

E pela tabela A . 7 as propriedades do ar a temperatura de 290   K serão de:

s 1 0 = 6.83521   k J / k g K

u 1 = 207.02   k J / k g

h 1 = 290.43   k J / k g

Passo 2

Aí o ar é descarrega na mina com a pressão de 2.1   M P a e essa é a hora que você fica bolado e provavelmente não sabe muito vem o que fazer né?

Calma meu aluno, eu quero que você se lembre da definição de entropia padrão dos gases perfeitos que foi vista no capítulo anterior

s 2 - s 1 = s 2 0 - s 1 0 - R l n   p 2 p 1

Só que como o compressor é ideal então o S g e r a d a = 0 e como o processo é adiabático então Q = 0 , logo:

S g e r a d o = m s 2 - s 1 - Q T → s 2 - s 1 = 0

Então:

s 2 0 = s 1 0 + R ln ⁡ p 2 p 1

Então se acharmos s 2 0 podemos achar a temperatura do ar na mina e responder uma parte da questão, daora né?

Aplicando então os valores nós temos:

s 2 0 = 6.83521 + 0.287 ln ⁡ 2.1 × 10 6 100 × 10 3 = 7.709   k J / k g K

Pela tabela A . 7 pegamos as propriedades do ar dentro da mina como:

T 2 = 680   K ; u 2 = 496.94 k J k g ; h 2 = 692.12 k J k g

Já demos um passo gigantesco para resolver a questão por inteiro.

Passo 3

A massa do ar quando temos esse estado comprimido do ar é de:

m 2 = P 2 V 2 R T 2 = 2.1 × 10 3 × 100   000 0.287 × 680 = 1.076 × 10 6   k g

Atente-se ao usar a pressão em relação a k P a pois o kilo da pressão corta com o kilo da constante R .

Passo 4

Agora vem a parte que diz que a noite a temperatura da mina passa a ser de 400   K invés de continuar nos 680   K , fazendo com que a pressão mude e tenha uma transferência de calor.

Vamos pegar a característica do ar a 400   K na tabela A . 7

u 3 = 286.49 k J k g ; h 3 = 401.3 k J k g ; s 3 0 = 7.15926 k J k g K

Supondo que a massa de ar na mina continua a mesma, apenas houve troca de calor do ar com as paredes dessa mina, nós temos que o calor trocado nessa mina seja de:

Q = m c v Δ T = 1.076 × 10 6 × 0.7165 × 680 - 400 = 215.87 × 10 6   k J

Então podemos achar a pressão no estado final com:

P 3 = m 2 R T 3 V = 1.076 × 10 6 × 0.287 × 400 100   000 = 1.235   M P a

Isso por que supomos que a massa continua a mesma, já que a questão não falou nada sobre isso

E assim podemos sair da mina e curtir nossa vida

Resposta

T 2 = 680   K

m 2 = 1.076 × 10 6   k g

Q = 215.87 × 10 6   k J

P 3 = 1.235   M P a

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