Enunciado

76- Considere o processo de enchimento de um balão com Hélio. Inicialmente. O Hélio se encontra pressurizado num cilindro para o armazenamento de gases. O Hélio fornece o trabalho p d V utilizado para esticar o material do balão e, também, para deslocar a posição da atmosfera. Estabeleça uma relação entre a pressão no Hélio, a tensão superficial, a pressão atmosférica e o raio do balão a partir do balanço infinitesimal δ W H e = δ W e s t i c a r + δ W a t m

Passo 1

Só posso começar essa questão com:

Ai, substituição, substituição o aluno sentiu, tá doendo aqui!

Nas outras questões estávamos ignorando a pressão da atmosfera, agora temos que considerar-la ok? Esse já é um bom começo.

Agora vamos por partes, o que seria esse trabalho de esticar? Bem, é o trabalho de esticamento ou de enchimento do balão que o hélio faz e como vimos nas questões anteriores ela é muito parecida com a pressão de gás compressível e que ela se dará por:

δ W e s t i c a r = S d A

Sem grandes mistérios (no geral Δ = δ = d hahaha a diferença é que em Δ normalmente colocamos para grandes variações, δ para pequenas e d para infinitesimal)

Enquanto o trabalho da pressão atmosférica não tem muito mistério ela será dada por:

δ W a t m = P o δ V

Pois como somente conhecemos a pressão atmosférica então pode se considerar que é uma pressão de gás normal, logo aplicando na fórmula temos:

δ W H e = S d A + P o δ V

Onde o trabalho feito pelo hélio será de:

δ W H e = P H e δ V

A fórmula total então será:

P H e δ V = S d A + P o δ V

Tá doendo um pouco menos agora? Não? Calma vou pegar um remédio calma.

Passo 2

Voltei, olha a questão no fundo o que ela quer é:

u m a   r e l a ç ã o   e n t r e   a   p r e s s ã o   n o   H é l i o ,   a   t e n s ã o   s u p e r f i c i a l ,   a   p r e s s ã o   a t m o s f é r i c a   e   o   r a i o   d o   b a l ã o

E com a fórmula que encontramos na seção anterior falta saber o raio do balão né?

Sabendo que r é o raio do balão bem, quanto é o volume de uma esfera? V = 4 3   π r 3 e a área do balão? V = 4 π r 2 . Bora substituir eles e ver o que temos:

P H e δ 4 3   π r 3 = S   δ 4 π r 2 + P o δ 4 3   π r 3

O que nos daria algo como (cortando as constantes que se repetem nos dois lados)

P H e 3 δ r 3 = S δ r 2 + P 0 3 δ r 3

Sabendo que:

δ r 3 δ r = r 2 → δ r 3 = r 2 δ r

E

δ r 2 δ r = r → δ r 2 = r δ r

Então:

P H e 3 r 2 δ r = S r δ r + P 0 3 r 2 δ r

Passo 3

Agora melhorou muito né? Bem vamos só organizar a equação

Cortando δ r e r dos dois lados teremos:

P H e r 3 = S + P 0 r 3

Isolando S temos:

r P H e - P 0 3 = S

Agora isolando P H e

P H e = 3 S r + P 0

Resposta

P H e = 3 S r + P 0

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