Enunciado

Um ciclo ideal do tipo Stirling utiliza hélio como fluido de trabalho. O compressor isotérmico é alimentado com hélio a 100   k P a e 37 ° C . A pressão na seção de descarga do compressor é 600   k P a e a temperatura na seção de alimentação da turbina é 1200   K . Sabendo que o ciclo opera sem regenerador, determine o trabalho e a transferência de calor, por quilograma de hélio que escoa no ciclo, em todos os quatro processos do ciclo. Calcule, também, o rendimento térmico do ciclo.

Passo 1

Opa, tudo bem?

Se ajeita na cadeira, pega um lápis, um papel e vem comigo resolver essa questão!

Pela Tabela A.5, para o hélio, temos que:

R = 2,077   k J / k g ⋅ K

c v = 3,1156   k J / k g ⋅ K

Começamos o problema analisando a compressão e calculando sua relação:

R C = v 4 v 3 = v 1 v 2 = p 2 p 1 = 600 100 = 6

Passo 2

Seguindo, devemos analisar os 4 processos do ciclo de Stirling e calcular seu trabalho e transferência de calor.

Começamos pela expansão isotérmica considerando um escoamento incompressível:

- w 12 = - q 12 = ∫ p d v

- w 12 = - q 12 = ∫ R T v d v

- w 12 = - q 12 = R T 1 ln ⁡ v 2 v 1

- w 12 = - q 12 = R T 1 ln ⁡ p 2 p 1

Dados:

T 1 = 37 ° C = 310   K .

Substituindo os dados:

- w 12 = - q 12 = 2,077 ⋅ 310 ⋅ ln ⁡ 600 100

- w 12 = - q 12 = 1156,7   k J / k g

Passo 3

Agora, analisamos a compressão isocórica, ou seja, com volume constante.

Sem variação no volume não temos trabalho envolvido:

w 23 = 0

Calculando a transferência de calor:

q 23 = u 3 - u 2 = c v ( T 3 - T 2 )

q 23 = 3,1156 ⋅ 1200 - 310

q 23 = 2773   k J / k g

Passo 4

Seguindo para a compressão isotérmica, do mesmo modo que calculamos a expansão isotérmica e considerando um escoamento incompressível:

- w 34 = - q 34 = ∫ p d v

- w 34 = - q 34 = ∫ R T v d v

w 34 = q 34 = R T 3 ln ⁡ v 4 v 3

w 34 = q 34 = 2,077 ⋅ 1200   ̇ ln ⁡ 6

w 34 = q 34 = 4465,8   k J / k g

Passo 5

Por fim, na expansão isocórica, novamente não temos variação de volume, então:

w 41 = 0

Calculando a transferência de calor:

q 41 = u 1 - u 4 = c v ( T 1 - T 4 )

q 41 = 3,1156 ⋅ 310 - 1200

q 41 = - 2773   k J / k g

Passo 6

Para finalizarmos a nossa questão, devemos calcular o rendimento térmico do ciclo:

n t é r m i c o = w 12 + w 34 q 23 + q 34

n t é r m i c o = - 1153,7 + 4465,8 2773 + 4465,8

n t é r m i c o = 0,458

Não foi tão difícil quanto parecia né?

Até a próxima!

Resposta

- w 12 = - q 12 = 1156,7   k J / k g

w 23 = 0

q 23 = 2773   k J / k g

w 34 = q 34 = 4465,8   k J / k g

w 41 = 0

q 41 = - 2773   k J / k g

n t é r m i c o = 0,458

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