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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 93

Considere um processo de compressão ou de expansão adiabático, reversível e infinitesimal. Considerando s = s ( P , ν ) e as relações de Maxwell, demonstre que, nesse processo, P ν k = c t e , onde k é o expoente de expansão isentrópica, definido como

k = ν P ∂ P ∂ ν s

Além disso, demonstre que, para o gás ideal, o expoente de expansão isentrópica k reduz-se à razão entre os calores específicos c p / c ν .

Passo 1

Pessoal bora demonstrar isso aí! Antes disso, uma coisa: para um processo isentrópico, d s = 0 , beleza? Bom, tomando s = s ( P , ν ) , a derivada d s pode ser expressa como:

d s = ∂ s ∂ P ν d P + ∂ s ∂ ν P d ν = 0 … ( 1 )

Agora, nós vamos substituir as relações de Maxwell abaixo na equação ( 1 ) :

∂ s ∂ P ν = - ∂ v ∂ T s   e   ∂ s ∂ ν P = ∂ P ∂ T s

- ∂ v ∂ T s d P + ∂ P ∂ T s d ν = 0

Arrumando a equação, temos:

d P - ∂ T ∂ ν s ∂ P ∂ T s d ν = 0

d P - ∂ P ∂ ν s d ν = 0

Dividindo tudo por P ,

d P P - 1 P ∂ P ∂ ν s d ν = 0 … 2

Agora, nós definimos o expoente k da expansão isentrópica como

k = - ν P ∂ P ∂ ν s

k ν = - 1 P ∂ P ∂ ν s

Substituindo na equação ( 2 ) :

d P P + k d ν ν = 0

Assumindo k como constante e integrando a equação:

ln ⁡ P + k ln ⁡ ν = c t e

Aplicando a propriedade da multiplicação de logaritmos,

ln ⁡ P ν k = c t e

P ν k = e c t e = c t e

Passo 2

Agora, para demonstrar que k = c p / c ν para um gás ideal, nós escrevemos as relações cíclicas para os seguintes grupos de variáveis:

s , T , ν →     ∂ s ∂ T ν ∂ ν ∂ s T ∂ T ∂ ν s = - 1   →   c ν T ∂ ν ∂ s T ∂ T ∂ ν s = - 1 … ( 3 )

s , T , P → ∂ s ∂ T P ∂ P ∂ s T ∂ T ∂ P s = - 1 → c p T ∂ P ∂ s T ∂ T ∂ P s = - 1 … 4

Onde usamos as relações

c v = T ∂ s ∂ T v   e   c p = T ∂ s ∂ T P

Igualando as equações ( 3 ) e ( 4 ) , temos:

c ν T ∂ ν ∂ s T ∂ T ∂ ν s = c p T ∂ P ∂ s T ∂ T ∂ P s

c p c v = ∂ s ∂ P T ∂ P ∂ T s ∂ ν ∂ s T ∂ T ∂ ν s

c p c ν = ∂ s ∂ P ∂ ν ∂ s T ∂ P ∂ T ∂ T ∂ ν s

c p c ν = ∂ v ∂ P T ∂ P ∂ ν s … ( 5 )

Mas,

∂ v ∂ P T = ∂ R T P ∂ P = - ν P

Substituindo na equação ( 5 ) :

c p c ν = - v P ∂ P ∂ ν s

c p c ν = k

Pronto, conforme queríamos demonstrar! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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