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Enunciado

Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 19

Prove que ((del P)/(del T))_s = (k)/(k - 1) ((del P)/(del T))_v .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, para tirar esta prova, vamos primeiramente lembrar da definição do c_v :

c_v = T ((del s)/(del T))_v = T ((del s)/(del P))_v ((del P)/(del T))_v

Substituindo a primeira relação de Maxwell [((del s)/(del P))_v = - ((del v)/(del T))_s] :

c_v = - T ((del v)/(del T))_s ((del P)/(del T))_v

Agora, lembrando da definição do c_p :

c_P = T ((del s)/(del T))_P = T ((del s)/(del v))_P ((del v)/(del T))_P

E, substituindo a segunda relação de Maxwell [((del s)/(del v))_P = ((del P)/(del T))_s] :

c_P = T ((del P)/(del T))_s ((del v)/(del T))_P

A diferença c_p - c_v é, segundo a equação 12-46:

c_p - c_v = - T ((del v)/(del T))_P^2 ((del P)/(del v))_T

E, como devemos saber, k = (c_p)/(c_v) , então:

(k)/(k - 1) = (c_p)/(c_p - c_v)

Portanto:

(k)/(k - 1) = - (((del P)/(del T))_s ((del v)/(del T))_P)/(((del v)/(del T))_P^2 ((del P)/(del v))_T) = - ((del P)/(del T))_s ((del T)/(del v))_P ((del v)/(del P))_T

Para validar a equação dada no enunciado, podemos substituir o termo (k)/(k - 1) para a verificação da igualdade. Assim, temos que:

((del P)/(del T))_s = (k)/(k - 1) ((del P)/(del T))_v

Substituindo o termo destacado:

((del P)/(del T))_s = - ((del P)/(del T))_s ((del T)/(del v))_P ((del v)/(del P))_T ((del P)/(del T))_v

Resposta

Entretanto, de acordo com a relação cíclica, os três últimos termos são iguais a -1. Então têm-se:

((del P)/(del T))_s = ((del P)/(del T))_s

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