12 – 53 Demonstre que k = (c_p)/(c_v) = - (v alpha)/(((del v)/(del P))_s) .

Passo 1

Sabe-se que:

C_v (d T)/(T) = - ((del P)/(del T))_v d v

C_p (d T)/(T) = ((del v)/(del T))_P d P

Trabalhando nisso podemos reescrever k como:

k = - (((del v)/(del T))_P ((del T)/(del P))_v)/(((del v)/(del P))_s)

Aplicando a regra do produto triplo ou regra da cadeia cíclica:

((del v)/(del T))_P * ((del P)/(del v))_T * ((del T)/(del P))_v = - 1

Desenvolvendo chegamos em:

k = (((del v)/(del P))_T)/(((del v)/(del P))_s) = - (v alpha)/(((del v)/(del P))_s) = (c_p)/(c_v)

Resposta

k = (c_p)/(c_v) = - (v alpha)/(((del v)/(del P))_s)

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