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Enunciado

Termodinâmica - Termodinamica,Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística, Sears e Salinger- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 2

A equação de estado de um certo gás é P + b v = R T , e sua energia interna específica é dada por u = a T + b v + u 0 .

a) Encontre c v .

b) Mostre que c P - c v = R .

c) Usando a Eq. (4-8), mostre que T v R / c v = c o n s t a n t e .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Para resolver esse problema vamos usar tudo que foi apresentado na seção 4.2 do livro. Então se você não domina muito o que está lá, vai dar uma lida e depois volta para cá!

O calor específico a volume constante é dado pela equação 4-4 do livro:

c v = ∂ u ∂ T v

Daí, é só derivar u = a T + b v + u 0 com relação a T mantendo v fixo:

c v = a

Passo 2

Agora vamos para o item (b). Temos que calcular a diferença c P - c v . Para isso, recomendo que você dê uma boa olhada na seção 4.2 do livro, especialmente na equação 4-6:

c P - c v = ∂ u ∂ v T + P ∂ v ∂ T P

A equação para a energia foi dada no enunciado:

u = a T + b v + u 0

Derivando com relação ao volume:

∂ u ∂ v T = b

Já a pressão é dada pela equação fornecida no enunciado:

P = R T v - b

Assim,

∂ u ∂ v T + P = b + R T v - b = R T v

Portanto,

c P - c v = R T v ∂ v ∂ T P

Resta só achar essa outra derivada. Para isso, escrevemos

P = R T v - b

Daí, derivamos essa expressão com relação a T mantendo P fixo:

0 = R v - R T v 2 ∂ v ∂ T P

Assim,

T v ∂ v ∂ T P = 1 → ∂ v ∂ T P = v T

Portanto,

c P - c v = R T v ∂ v ∂ T P = R T v ⋅ v T

Logo, chegamos ao resultado pedido:

c P - c v = R

Passo 3

Agora vamos para o item (c).

A equação 4-8 nos fornece

c v   ∂ T ∂ v s = - ∂ u ∂ v T + P

No item (b), percebemos que

∂ u ∂ v T + P = - R T v

Assim,

c v   ∂ T ∂ v s = - R T v

Com isso, temos

1 T ∂ T ∂ v s = - R c v v

Essa equação pode ser integrada se fizermos

d T T = - R c v d v v + k → ln ⁡ T = - R c v ln ⁡ v + k → ln ⁡ T = ln ⁡ v - R / c v + ln ⁡ k ' ,           k = ln ⁡ k '

Assim,

T = k ' v - R / c v

Portanto,

T v R / c v = k ' = c o n s t a n t e

Resposta

c v = a

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