Enunciado
Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 121
É um fato conhecido que a temperatura da atmosfera varia com a altitude. Na troposfera, que se estende até uma altitude de 11 km, por exemplo, a variação da temperatura pode ser aproximada por , onde é a temperatura no nível do mar, considerada 288,15 K, e . A aceleração gravitacional também muda com a altitude, e assim , onde e é a elevação a partir do nível do mar em m. Obtenha uma razão para a variação da pressão na troposfera (a) ignorando e (b) considerando a variação de g com a altitude.
Passo 1
Vamos considerar que o ar na troposfera é um gás ideal.
Temos então que a lei dos gases ideais pode ser utilizada, daí
Rearranjando a equação, teremos:
Ao multiplicar a massa molar nos dois lados da equação, teremos que no lado direito, com , daí
Passo 2
Na questão, vamos desconsiderar a massa molar do ar.
Vamos começar resolvendo a alternativa (a).
Temos que a pressão de um fluido varia de acordo com o seu deslocamento vertical pelo Princípio de Steven, daí
O sinal negativo da fórmula diferencial deriva do ponto de referência, a medida com que a altitude fica menor (negativa), a pressão tende a aumentar. E, a medida com que a altitude aumenta (positiva) a pressão tende a diminuir.
Passo 3
Substituindo a densidade de um gás ideal e a expressão da variação de temperatura na troposfera, teremos:
Aplicando o método de separação de variáveis nessa equação diferencial, com z variando de 0 até z, e P variando de até P, temos:
Aplicando a exponencial em ambos os lados da equação, temos
Rearranjando a equação, teremos
Passo 4
Na alternativa (b), vamos considerar a gravidade variando com a altitude também, daí
Vamos aplicar o método de separação de variáveis, daí
Resolvendo as integrais e rearranjando a equação, teremos
Onde derivada da integração.