Enunciado
Termodinâmica - Termodinamica,Teoria Cinética e Termodinâmica Estatística, Sears e Salinger- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 30
a) Mostre que as constantes críticas de uma substância obedecem à equação de Dieterici de estado,
são
b) Compare a razão para um gás de Dieterici com os valores experimentais dados na tabela 2.4.
Passo 1
Fala galerinha, beleza?
Nesse problema vamos brincar um pouco com a equação de estado de Dieterici:
Começamos por isolar a pressão:
A condição para encontrar o ponto crítico é
Tomando a primeira derivada:
Assim,
O termo à frente dos parênteses pode ser identificado como a própria pressão, de modo que
Como devemos ter , segue que
Guarde essa equação!
Passo 2
Agora vamos tomar a segunda derivada:
Usando a condição , o primeiro termo se anula, de modo que
Como devemos ter também , segue que
Agora vem o pulo do gato! Volte para a equação do fim do passo 1 e eleve-a ao quadrado:
Assim, usando a nova relação que acabamos de encontrar, podemos escrever
Ufa, estamos quase lá!
Passo 3
No fim do passo 1, deduzimos que
Por outro lado, no fim do passo 2 achamos que , de modo que substituindo na equação acima:
Substituindo na relação , temos
Por fim, voltamos a equação original para achar a pressão:
Com isso, chegamos exatamente nas relações pedidas:
Passo 4
O item (b) é mais simples. Basta tomar a razão :
Assim,
Na tabela 2.4, esse valor se aproxima do . Vale destacar para essa equação de estado, a razão não depende das constantes e , ela é universal e igual a .
Resposta
Demonstração.