Primeira Lei para Processos

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Teoria

A primeira lei da termodinâmica é a lei de conservação da energia!

Imagine um gato derrubando um copo de 0,2   k g que estava em cima da mesa. Antes dele derrubar, o copo estava parado e em cima da superfície da mesa a uma altura de 1,25   m do chão. Depois de derrubar, o copo atinge uma velocidade de 5   m / s antes de bater no chão.

Quais as energias cinética E C e potencial E P G do copo antes e depois da queda? Vamos começar pelo momento antes da queda! Nesse instante, a velocidade do copo ν 1 era nula e ele estava a 1,25   m do chão.

E C 1 = m ⋅ ν 1 2 2 = 0,2 ⋅ 0 2 2 = 0   J

E P G 1 = m ⋅ g ⋅ Z 1 = 0,2 ⋅ 10 ⋅ 1,25 = 2,5   J

E 1 = E C 1 + E P G 1 = 0 + 2,5 = 2,5   J

A soma dessas duas formas de energia fica igual a 2,5   J . Ou seja, a energia total armazenada no copo antes dele cair E 1 vale 2,5   J .

Logo antes do copo tocar o chão, a sua altura em relação ao solo h 2 é desprezível e sua velocidade ν 2 vale 5   m / s .

E C 2 = m ⋅ ν 2 2 2 = 0,2 ⋅ 5 2 2 = 2,5   J

E P G 2 = m ⋅ g ⋅ Z 2 = 0,2 ⋅ 10 ⋅ 0 = 0   J

E 2 = E C 2 + E P G 2 = 2,5 + 0 = 2,5   J

A soma dessas duas formas de energia fica de novo igual a 2,5   J . Em outras palavras, a energia total armazenada no copo E não variou! Ela só mudou de forma! Passou de energia potencial gravitacional E P G para energia cinética E C .

Mas por que ela não foi perdida ou destruída durante a queda?

Porque a quantidade de energia sempre se conserva! Ela não pode desaparecer, apenas se transformar. Essa é a lei da física conhecida como a primeira lei da termodinâmica!

A energia total do sistema fechado E

Vimos que a energia ficou armazenada de duas formas no copo: na forma de energia cinética E C e na forma de energia potencial gravitacional E P G . Saber isso foi importante, porque calculamos a energia total E , somando todas essas formas de energia! Por isso, devemos nos perguntar: como a energia pode se armazenar em um sistema fechado?

A energia pode se armazenar na forma de energia cinética E C , na forma de energia potencial gravitacional E P G e na forma de energia interna U . Cada uma dessas formas de energia tem sua própria fórmula. Todas elas são mostradas na figura abaixo:

onde u é a energia interna específica do sistema. Ela é medida em joule por quilograma J / k g no S.I.

A energia total armazenada no sistema E é igual à soma de todos esses três tipos de energia.

E = E C + E P G + U ⟹ E = m ⋅ ν 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z + m ⋅ u

Sendo E a energia total acumulada no sistema. Ela é medida em joule J no S.I.

Troca de energia entre o sistema e a sua vizinhança

A energia armazenada em um sistema é igualzinha ao dinheiro armazenado na nossa conta do banco! A quantidade de dinheiro na conta só muda, se alguém coloca dinheiro nela ou se tira dinheiro dela. De forma parecida, a quantidade de energia E no sistema só varia, se a vizinhança dá energia para ele ou se a vizinhança tira energia dele.

As semelhanças com o dinheiro não param por aí! O dinheiro da conta pode aumentar de duas formas: quando a gente deposita dinheiro nela ou quando outra pessoa deposita dinheiro nela. O caso oposto é bem parecido! O dinheiro da conta pode diminuir de duas formas: quando a gente tira dinheiro dela ou quando uma outra pessoa consegue tirar dinheiro dela.

Da mesma maneira, a energia do sistema pode aumentar de duas formas: quando á vizinhança fornece calor ao sistema Q > 0 ou quando ela realiza trabalho no sistema W < 0 . Quando o sistema realiza trabalho na vizinhança W > 0 ou quando ele libera calor pro ambiente Q < 0 , a energia do sistema diminui.

Fórmula da troca de energia entre o sistema e a sua vizinhança

Como a energia do sistema só pode variar de duas formas (trocando calor e trabalho), a quantidade de energia que o sistema troca com o ambiente E t r o c a d a é a soma de apenas duas parcelas: o calor trocado Q e o trabalho realizado pelo sistema W .

A fórmula da energia trocada se encontra abaixo:

E t r o c a d a = Q - W

onde:

  • E t r o c a d a é a quantidade de energia que é trocada entre o sistema e a sua vizinhança. Sua unidade no Sistema Internacional (S.I) é o joule J ;
  • Q é a quantidade de calor trocado entre o sistema e a vizinhança. Sua unidade no Sistema Internacional (S.I) é o joule J ;
  • W é trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança. Sua unidade no Sistema Internacional (S.I) é o joule J ;

Para entender como se usa essa fórmula, vamos resolver uma questão juntos! Qual seria a quantidade energia trocada E t r o c a d a   entre um gás contido em um conjunto cilindro-pistão e a sua vizinhança, se esse gás realizasse 4   J de trabalho e perdesse 6   J de calor?

Se o gás está realizando trabalho, então o sinal do trabalho é positivo.

W = 4   J

Apesar disso, como o gás perde calor, o sinal do calor é negativo.

Q   = - 6   J

Usando esses dois valores na fórmula, vemos que a energia trocada E t r o c a d a é negativa. Ou seja, o sistema perde 10   J de energia.

E t r o c a d a = Q - W = - 6 - 4 = - 10   J

Outro jeito de calcular a troca de energia entre o sistema e a sua vizinhança

Nós acabamos de aprender a calcular a variação de energia do sistema fechado. A gente conferiu a quantidade de energia recebida e a quantidade de energia tirada do sistema. Se o sistema ganhou mais energia do que perdeu E t r o c a d a > 0 , sua energia total aumentou. Se o sistema ganhou menos energia do que perdeu E t r o c a d a < 0 , sua energia total diminuiu.

Essa forma de calcular o aumento e a diminuição de energia no sistema é muito útil, mas existe um outro jeito muito prático de fazer isso! A segunda maneira é comparar a quantidade de energia que tem no sistema E 2 com a quantidade de energia que tinha no sistema E 1 , antes dele trocar energia.

Se o sistema está com menos energia que antes E 2 < E 1 , ele perdeu energia E t r o c a d o < 0 ! Se o sistema tem mais energia que antes E 2 > E 1 , ele ganhou energia E t r o c a d o > 0 ! Por exemplo, se a gente ferver a água que está em uma panela, a energia da água vai aumentar E 2 > E 1 ! Isso significa que a água ganhou energia E t r o c a d o > 0 !

E t r o c a d a = E 2 - E 1

A fórmula acima mostra que o aumento ou diminuição de energia é igual à energia trocada. E 1 é a energia da água em joule J antes dela ser fervida. E 2 é a energia da água em joule J depois dela ser fervida. Ou seja, se a água tinha 100   J e passou a ter 200   J , ela trocou 100   J com a sua vizinhança!

E t r o c a d a = 200 - 100 = 100   J

A primeira lei da termodinâmica para processos de um sistema fechado

Se nós temos duas formas de calcular a energia trocada E t r o c a d a , então elas dão o mesmo resultado! Por causa disso, podemos igualar as duas expressões de energia trocada!

Q - W = E 2 - E 1

Mas as quantidades de energia armazenadas no sistema também têm uma fórmula!

E 1 = m ⋅ ν 1 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 1 + m ⋅ u 1

E 2 = m ⋅ ν 2 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 2 + m ⋅ u 2

Com as fórmulas de energia, a equação vira:

Q - W = m ⋅ ν 2 2 - ν 1 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 2 - Z 1 + m ⋅ u 2 - u 1

Essa fórmula é super importante para a termodinâmica! Ela mostra que a energia do sistema aumenta ou diminui por causa da energia trocada através do calor e do trabalho! Ou seja, a energia não é criada nem destruída! Ela sempre vem de algum lugar ou vai para algum lugar! Essa equação é chamada de primeira lei da termodinâmica para processos!

Mas não fique assustado com o tamanho da fórmula! Geralmente, nos exercícios de termodinâmica, os sistema não estão se movendo. Por isso, a velocidade do sistema não varia e a altura do sistema também não muda. Aí a fórmula vira:

Q - W = m ⋅ u 2 - u 1

Agora vamos partir para os exercícios!

A energia total do sistema fechado E

Troca de energia entre o sistema e a sua vizinhança

Fórmula da troca de energia entre o sistema e a sua vizinhança

Outro jeito de calcular a troca de energia entre o sistema e a sua vizinhança

A primeira lei da termodinâmica para processos de um sistema fechado

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um sistema fechado passa por um processo em que não há mudança na energia interna. Durante esse processo, o sistema produz 1491399,74   J de trabalho. Calcule a transferência de calor para esse processo.

Passo 1

O enunciado fala sobre um sistema fechado que passa por um processo. Nesse processo, o sistema realiza 1491399,74   J de trabalho e troca calor.

W = 1491399,74   J

Ou seja, ele troca energia por trabalho e troca de energia por calor.

No entanto, mesmo trocando energia de duas formas, sua energia interna U não muda! Isso quer dizer que a energia interna no fim do processo U 2 e a energia interna no início do processo U 1 são iguais.

U 2 - U 1 = 0

Sabendo disso, o enunciado quer saber quanta energia foi trocada por calor. Mas como a gente pode calcular a quantidade de energia que o sistema trocou por calor com o ambiente se a gente só sabe a variação de energia interna do sistema? Através da primeira lei da termodinâmica!

Q - W = E 2 - E 1

A equação dessa lei está escrita acima. Ela diz que o sistema não pode criar nem destruir energia. Isso significa que a variação de energia total E do sistema é igual a quantidade d energia que ele troca por calor Q e trabalho W . Mas como a gente pode calcular a variação de energia total E 2 - E 2 , se a gente só conhece a variação de energia interna U 2 - U 1 ?

Isso é o que responderemos no próximo passo!

Passo 2

A primeira etapa para a gente saber como calcular a variação de E é olhar para a equação de energia total.

E = m ⋅ ν 2 2 ⏟ e n e r g i a   c i n é t i c a + m ⋅ g ⋅ Z ⏟ e n e r g i a   p o t e n c i a l   g r a v i t a c i o n a l + m ⋅ u ⏟ e n e r g i a   i n t e r n a

onde:

  • m é a massa do sistema;
  • u é a energia interna específica. Ela é encontrada através da tabela de propriedades;
  • ν é a velocidade do sistema;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • Z é a altura do sistema.

Nós vemos que a energia total E é formada por três tipos de energia: energia cinética, energia potencial gravitacional e energia interna. A energia cinética depende da velocidade do sistema ν e a energia potencial depende da altura do sistema Z . Como podemos calcular esses dois tipos de energia se não conhecemos ν nem Z ?

Na verdade, nós não precisamos calcular esses dois tipos de energia! O enunciado não fala que o sistema varia de velocidade ou de altura. Isso significa que essas duas variáveis não mudam de valor. Ou seja, a única parte da energia total E que varia é a energia interna U ! Vamos verificar a variação de energia total do sistema depois dele passar pelo processo.

E 2 - E 1 = m ⋅ ν 2 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 2 + U 2 - m ⋅ ν 1 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 1 + U 1

No entanto:

ν 2 = ν 1

Z 2 = Z 1

Por causa disso, as variações de energia cinética e energia potencial gravitacional se anulam e a variação de energia total fica igual à variação de energia interna:

E 2 - E 1 = U 2 - U 1

Por outro lado:

Q - W = E 2 - E 1

Igualando essas duas últimas equações, achamos que:

Q - W = U 2 - U 1

Como temos U 2 - U 1 e W podemos, enfim, calcular a quantidade de energia trocada por calor Q .

Passo 3

Substituindo os valores do enunciado na última equação, achamos Q .

Q - W = U 2 - U 1

Q - 1491399,74 = 0

Q = 1491399,74   J

Resposta

Q = 1491399,74   J

Exercício Resolvido #2

Um sistema fechado, como mostra a Figura abaixo, é operado de maneira adiabática. Primeiro, 20337,270   J de trabalho são realizados pelo sistema. Em seguida, um agitador aplica trabalho ao dispositivo para aumentar a energia interna do fluido em 10845,974   J . Calcule o aumento líquido da energia interna desse sistema.

Passo 1

O enunciado fala sobre um sistema fechado que passa por dois processos. No primeiro processo (processo A), o sistema realiza 20337,270   J de trabalho na sua vizinhança. Ou seja, o sistema perde 20337,270   J de energia e vai do estado 1 ao estado 2. Por causa disso:

W A = 20337,270   J

A questão também diz que o sistema opera adiabaticamente. Isso significa que ele não troca calor em nenhum dos dois processos.

Q A = 0   J

Como a energia não pode ser criada nem destruída, a variação de energia do sistema durante o processo é igual a energia que o sistema recebe ou perde. Isso é mostrado pela primeira lei da termodinâmica para sistemas fechados.

Q A - W A = E 2 - E 1

Com essa equação, nós conseguimos descobrir a variação de energia total do sistema, quando ele vai do estado 1 para o estado 2.

No segundo processo (processo B), o sistema recebe 10845,974   J de energia por trabalho através de um agitador.

W B = - 10845,974   J

Q B = 0   J

Esse trabalho é negativo, porque pela regra que criamos, quando o sistema realiza trabalho, o trabalho é positivo. Já quando o sistema sofre trabalho, o trabalho é negativo.

A primeira lei para o processo B pode ser escrita como:

Q B - W B = E 3 - E 2

Dessa forma, a gente consegue descobrir a variação de energia total do sistema, quando ele vai do estado 2 para o estado 3.

No entanto, o exercício quer saber o aumento líquido de energia interna desse sistema, depois que ele passa por esses dois processos. Isso quer dizer que a questão pede U 3 - U 1 .

Mas como a gente pode saber como a energia interna U aumenta, se nós só sabemos como a energia total E varia em cada processo?

Descobriremos isso no próximo passo!

Passo 2

A primeira etapa para a gente saber como calcular a variação de U é olhar para a equação de energia total.

E = m ⋅ ν 2 2 ⏟ e n e r g i a   c i n é t i c a + m ⋅ g ⋅ Z ⏟ e n e r g i a   p o t e n c i a l   g r a v i t a c i o n a l + U ⏟ e n e r g i a   i n t e r n a

onde:

  • m é a massa do sistema;
  • ν é a velocidade do sistema;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • Z é a altura do sistema.

Nós vemos que a energia total E é formada por três tipos de energia: energia cinética, energia potencial gravitacional e energia interna. A energia cinética depende da velocidade do sistema ν e a energia potencial depende da altura do sistema Z . Como podemos calcular esses dois tipos de energia se não conhecemos ν nem Z ?

Na verdade, nós não precisamos calcular esses dois tipos de energia! O enunciado não fala que o sistema varia de velocidade ou de altura. Isso significa que essas duas variáveis não mudam de valor. Ou seja, a única parte da energia total E que varia é a energia interna U ! Vamos verificar a variação de energia total do sistema depois dele passar pelo processo A.

E 2 - E 1 = m ⋅ ν 2 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 2 + U 2 - m ⋅ ν 1 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 1 + U 1

No entanto:

ν 2 = ν 1

Z 2 = Z 1

Por causa disso, as variações de energia cinética e energia potencial gravitacional se anulam e a variação de energia total fica igual à variação de energia interna:

E 2 - E 1 = U 2 - U 1

A mesma coisa acontece para o processo B:

E 3 - E 2 = U 3 - U 2

Como a variação de energia total é igual à soma das duas variações de energia, encontramos a seguinte equação:

E 3 - E 1 = E 3 - E 2 + E 2 - E 1

E 3 - E 1 = U 3 - U 2 + U 2 - U 1

E 3 - E 1 = U 3 - U 1

Por outro lado, a variação de energia total é igual à energia trocado entre o sistema e a sua vizinhança durante esses dois processos.

E 3 - E 1 = E 3 - E 2 + E 2 - E 1

E 3 - E 1 = Q B - W B + Q A - W A

Igualando as duas equações que desenvolvemos, achamos que:

U 3 - U 1 = Q B - W B + Q A - W A

Como temos todos esses valores, podemos, enfim, calcular a variação líquida de energia interna.

Passo 3

Substituindo os valores do enunciado na última equação, achamos a variação líquida de energia interna.

U 3 - U 1 = Q B - W B + Q A - W A

U 3 - U 1 = 0 - - 10845,974 + 0 - 20337,270

U 3 - U 1 = - 9491,296   J

Resposta

U 3 - U 1 = - 9491,296   J

Exercício Resolvido #3

Um sistema fechado, como mostra a Figura abaixo, contém água líquida com 784,08   k J de energia interna e opera adiabaticamente. Primeiro, ele recebe 1000   k J de energia por trabalho de fronteira. Em seguida, um agitador aplica trabalho ao dispositivo para aumentar a energia interna do fluido em 805   k J . Calcule a energia interna final desse sistema.

Passo 1

O enunciado fala sobre um sistema fechado que passa por dois processos. No primeiro processo (processo A), a vizinhança realiza 1000   k J de trabalho sobre o sistema. Ou seja, o sistema ganha 1000   k J de energia por trabalho de movimento de fronteira e vai do estado 1 ao estado 2. Por causa disso:

W A = - 1000   k J

Esse trabalho é negativo, porque pela regra que criamos, quando o sistema realiza trabalho, o trabalho é positivo. Já quando o sistema sofre trabalho, o trabalho é negativo.

A questão também diz que o sistema opera adiabaticamente. Isso significa que ele não troca calor em nenhum dos dois processos.

Q A = 0   J

Como a energia não pode ser criada nem destruída, a variação de energia do sistema durante o processo é igual a energia que o sistema recebe ou perde. Isso é mostrado pela primeira lei da termodinâmica para sistemas fechados.

Q A - W A = E 2 - E 1       ⟹       E 2 = Q A - W A + E 1      

Com essa equação, nós conseguimos descobrir a energia total do sistema E 2 , depois que ele passa pelo processo A.

No segundo processo (processo B), o sistema recebe 805   k J de energia por trabalho através de um agitador.

W B = - 805   k J

Q B = 0   J

A primeira lei para o processo B pode ser escrita como:

Q B - W B = E 3 - E 2       ⟹       E 3 = Q B - W B + E 2    

Dessa forma, a gente consegue descobrir a energia total do sistema no estado 3 E 3 .

No entanto, o exercício quer saber o valor da energia interna final U 3 da água, depois que ela passa por esses dois processos.

Mas como a gente pode descobrir o valor a energia interna U , se nós só sabemos calcular o valor da energia total E ?

Veremos isso no próximo passo!

Passo 2

A primeira etapa para a gente saber como calcular U é olhar para a equação de energia total.

E = m ⋅ ν 2 2 ⏟ e n e r g i a   c i n é t i c a + m ⋅ g ⋅ Z ⏟ e n e r g i a   p o t e n c i a l   g r a v i t a c i o n a l + U ⏟ e n e r g i a   i n t e r n a

onde:

  • m é a massa do sistema;
  • ν é a velocidade do sistema;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • Z é a altura do sistema.

Nós vemos que a energia total E é formada por três tipos de energia: energia cinética, energia potencial gravitacional e energia interna. A energia cinética depende da velocidade do sistema ν e a energia potencial depende da altura do sistema Z . Como podemos calcular esses dois tipos de energia se não conhecemos ν nem Z ?

Na verdade, nós não precisamos calcular esses dois tipos de energia! O enunciado não fala que o sistema varia de velocidade ou de altura. Isso significa que essas duas variáveis não mudam de valor. Ou seja, a única parte da energia total E que varia é a energia interna U ! Vamos verificar a variação de energia total do sistema depois dele passar pelo processo A.

E 2 - E 1 = m ⋅ ν 2 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 2 + U 2 - m ⋅ ν 1 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 1 + U 1

No entanto:

ν 2 = ν 1

Z 2 = Z 1

Por causa disso, as variações de energia cinética e energia potencial gravitacional se anulam e a variação de energia total fica igual à variação de energia interna:

E 2 - E 1 = U 2 - U 1

A mesma coisa acontece para o processo B:

E 3 - E 2 = U 3 - U 2

Como a variação de energia total é igual à soma das duas variações de energia, encontramos a seguinte equação:

E 3 - E 1 = E 3 - E 2 + E 2 - E 1

E 3 - E 1 = U 3 - U 2 + U 2 - U 1

E 3 - E 1 = U 3 - U 1

Por outro lado, a variação de energia total é igual à energia trocado entre o sistema e a sua vizinhança durante esses dois processos.

E 3 - E 1 = E 3 - E 2 + E 2 - E 1

E 3 - E 1 = Q B - W B + Q A - W A

Igualando as duas equações que desenvolvemos, achamos que:

U 3 - U 1 = Q B - W B + Q A - W A       ⟹       U 3 = U 1 + Q B - W B + Q A - W A

sendo que o enunciado diz que:

U 1 = 784,08   k J

Como temos todos esses valores, podemos, enfim, calcular a energia interna U 3 .

Passo 3

Substituindo os valores do enunciado na última equação, achamos U 3 .

U 3 = U 1 + Q B - W B + Q A - W A

U 3 = 784,08 + 0 - - 1000 + 0 - - 805

U 3 = 2589,08     k J

Esse é o resultado final!

Resposta

U 3 = 2589,08     k J

Exercício Resolvido #4

Um sistema fechado, como mostra a Figura abaixo, contém 2   k g de água líquida saturada a 120   ° C . Ele opera adiabaticamente. Primeiro, ele realiza 500   k J de energia por trabalho de fronteira. Em seguida, um agitador aplica trabalho ao dispositivo para aumentar a energia interna do fluido em 2000   k J . Calcule a energia interna específica final desse sistema. Use a tabela de propriedades abaixo.

Passo 1

O enunciado fala sobre um sistema fechado que passa por dois processos. No primeiro processo (processo A), o sistema realiza 500   k J de trabalho sobre a vizinhança. Ou seja, o sistema perde 500   k J de energia por trabalho de movimento de fronteira e vai do estado 1 ao estado 2. Por causa disso:

W A = 5 00   k J

A questão também diz que o sistema opera adiabaticamente. Isso significa que ele não troca calor em nenhum dos dois processos.

Q A = 0   J

Como a energia não pode ser criada nem destruída, a variação de energia do sistema durante o processo é igual a energia que o sistema recebe ou perde. Isso é mostrado pela primeira lei da termodinâmica para sistemas fechados.

Q A - W A = E 2 - E 1       ⟹       E 2 = Q A - W A + E 1      

Com essa equação, nós conseguimos descobrir a energia total do sistema E 2 , depois que ele passa pelo processo A.

No segundo processo (processo B), o sistema recebe 2000   k J de energia por trabalho através de um agitador.

W B = - 2000   k J

Q B = 0   J

Esse trabalho é negativo, porque pela regra que criamos, quando o sistema realiza trabalho, o trabalho é positivo. Já quando o sistema sofre trabalho, o trabalho é negativo.

A primeira lei para o processo B pode ser escrita como:

Q B - W B = E 3 - E 2       ⟹       E 3 = Q B - W B + E 2    

Dessa forma, a gente consegue descobrir a energia total do sistema no estado 3 E 3 .

No entanto, o exercício quer saber o valor da energia interna específica final u 3 da água, depois que ela passa por esses dois processos.

Mas como a gente pode descobrir o valor a energia interna especifica u , se nós só sabemos calcular o valor da energia total E ? Veremos isso no próximo passo!

Passo 2

A primeira etapa para a gente saber como calcular u é olhar para a equação de energia total.

E = m ⋅ ν 2 2 ⏟ e n e r g i a   c i n é t i c a + m ⋅ g ⋅ Z ⏟ e n e r g i a   p o t e n c i a l   g r a v i t a c i o n a l + m ⋅ u ⏟ e n e r g i a   i n t e r n a

onde:

  • m é a massa do sistema;
  • ν é a velocidade do sistema;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • Z é a altura do sistema;
  • u é a energia interna específica do sistema.

Nós vemos que a energia total E é formada por três tipos de energia: energia cinética, energia potencial gravitacional e energia interna. A energia cinética depende da velocidade do sistema ν e a energia potencial depende da altura do sistema Z . Como podemos calcular esses dois tipos de energia se não conhecemos ν nem Z ?

Na verdade, nós não precisamos calcular esses dois tipos de energia! O enunciado não fala que o sistema varia de velocidade ou de altura. Isso significa que essas duas variáveis não mudam de valor. Ou seja, a única parte da energia total E que varia é a energia interna U ! Vamos verificar a variação de energia total do sistema depois dele passar pelo processo A.

E 2 - E 1 = m ⋅ ν 2 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 2 + m ⋅ u 2 - m ⋅ ν 1 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 1 + m ⋅ u 1

No entanto:

ν 2 = ν 1

Z 2 = Z 1

Por causa disso, as variações de energia cinética e energia potencial gravitacional se anulam e a variação de energia total fica igual à variação de energia interna:

E 2 - E 1 = m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1

A mesma coisa acontece para o processo B:

E 3 - E 2 = m ⋅ u 3 - m ⋅ u 2

Como a variação de energia total é igual à soma das duas variações de energia, encontramos a seguinte equação:

E 3 - E 1 = E 3 - E 2 + E 2 - E 1

E 3 - E 1 = m ⋅ u 3 - m ⋅ u 2 + m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1

E 3 - E 1 = m ⋅ u 3 - m ⋅ u 1

Por outro lado, a variação de energia total é igual à energia trocado entre o sistema e a sua vizinhança durante esses dois processos.

E 3 - E 1 = E 3 - E 2 + E 2 - E 1

E 3 - E 1 = Q B - W B + Q A - W A

Igualando as duas equações que desenvolvemos, achamos que:

m ⋅ u 3 - m ⋅ u 1 = Q B - W B + Q A - W A       ⟹       u 3 = m ⋅ u 1 + Q B - W B + Q A - W A m

sendo que o enunciado diz que:

m = 2   k g

Além disso, como a água é, inicialmente, um líquido saturado a 120   ° C , sua energia interna específica u 1 pode ser obtida na tabela de saturação. Ela é igual à u l para 120   ° C de temperatura.

Como temos todos esses valores, podemos, enfim, calcular a energia interna específica u 3 .

Passo 3

O primeiro passo para calcular a energia interna específica é achar u 1 na tabela de saturação.

u 1 = 503,48   k J k g

Substituindo os valores do enunciado na última equação, achamos u 3 .

u 3 = m ⋅ u 1 + Q B - W B + Q A - W A m

u 3 = 2 ⋅ 503,48 + 0 - - 2000 + 0 - 500 2

u 3 = 1253,48   k J k g

Esse é o resultado final!

Resposta

u 3 = 1253,48   k J k g

Exercício Resolvido #5

Uma certa quantidade de vapor de água saturado a 200   ° C é condensada isotermicamente para líquido saturado em um arranjo pistão-cilindro.

Calcule a transferência de calor e o trabalho realizado durante esse processo, em k J / k g . Use a tabela de propriedades termodinâmicas abaixo.

Passo 1

O exercício diz que um sistema passa por um processo com troca de calor e trabalho. O sistema é formado inicialmente por vapor d’água a 200   ° C (estado 1). Depois de trocar calor e trabalho, o sistema vira líquido saturado (estado 2). A figura abaixo mostra o sistema antes e depois do processo.

A figura mostra que conforme o vapor vai perdendo calor e condensando, o pistão vai descendo. Isso significa que o volume do sistema vai diminuindo, porque a sua fronteira vai descendo junto com o pistão. Ou seja, além do pistão trocar calor, a vizinhança realiza trabalho sobre ele. E não é qualquer tipo de trabalho! É um trabalho de movimento de fronteira W .

W = ∫ 1 2 P ⋅ d V

Mas como podemos resolver essa integral para calcular o trabalho?

Lembrando que durante uma condensação isotérmica a pressão também não muda!

Ou seja, além do processo manter a temperatura constante, ele também mantém a pressão constante. Isso é mostrado na figura abaixo, comparando a pressão do estado condensado B com a pressão do estado vaporizado D. A pressão B é igual à pressão D. Isso fica mais claro quando a gente olha para o gráfico P - v .

P 2 = P 1 = P

Por causa disso a fórmula do trabalho vira:

W = P ⋅ V 2 - V 1

onde:

  • V 1 é o volume inicial do sistema;
  • V 2 é o volume final do sistema;
  • P é a pressão do sistema. Ela é constante durante todo o processo.

E como conseguimos achar essas três propriedades?

Vamos por partes! Primeiro vamos começar pela pressão P . Ela é encontrada através da tabela de saturação da água. Ela é a pressão de saturação da água para a temperatura de 200   ° C .

Para encontrar os volumes, temos que lembrar que eles dependem da massa m do sistema:

V 1 = m ⋅ v 1

V 2 = m ⋅ v 2

onde:

  • v 1 é o volume específico do vapor saturado de água v v a 200   ° C . Ele é encontrado na tabela de saturação;
  • v 2 é o volume específico da água líquida saturada v l a 200   ° C . Ele também é encontrado na tabela de saturação.

E a massa do sistema m ? Como achamos?

Nós não precisamos dela!

O exercício pede para encontrarmos o trabalho em k J / k g , porque ele não pede W , mas sim W dividido por m .

W = P ⋅ m ⋅ v 2 - m ⋅ v 1       ⟹       W = P ⋅ m ⋅ v 2 - v 1       ⟹       W m = P ⋅ v 2 - v 1

Olhando para a equação de cima, descobrimos que já temos todas as informações que precisamos para achar o resultado pedido.

Mas e a troca de calor dividida pela massa Q / m ? Como podemos calculá-la?

Isso fica para o próximo passo!

Passo 2

Para calcular Q / m teremos que usar a primeira lei da termodinâmica.

Q - W = E 2 - E 1

Nós já sabemos como calcular o trabalho, mas como a gente pode calcular a variação de energia total E 2 - E 2 , se a tabela de propiedades só tem valores de energia interna específica u ?

A primeira etapa para a gente saber como calcular a variação de E é olhar para a equação de energia total.

E = m ⋅ ν 2 2 ⏟ e n e r g i a   c i n é t i c a + m ⋅ g ⋅ Z ⏟ e n e r g i a   p o t e n c i a l   g r a v i t a c i o n a l + m ⋅ u ⏟ e n e r g i a   i n t e r n a

onde:

  • m é a massa do sistema;
  • u é a energia interna específica. Ela é encontrada através da tabela de propriedades;
  • ν é a velocidade do sistema;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • Z é a altura do sistema.

Nós vemos que a energia total E é formada por três tipos de energia: energia cinética, energia potencial gravitacional e energia interna. A energia cinética depende da velocidade do sistema ν e a energia potencial depende da altura do sistema Z . Como podemos calcular esses dois tipos de energia se não conhecemos ν nem Z ?

Na verdade, nós não precisamos calcular esses dois tipos de energia! O enunciado não fala que o sistema varia de velocidade ou de altura. Isso significa que essas duas variáveis não mudam de valor. Ou seja, a única parte da energia total E que varia é a energia interna U ! Vamos verificar a variação de energia total do sistema depois dele passar pelo processo.

E 2 - E 1 = m ⋅ ν 2 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 2 + m ⋅ u 2 - m ⋅ ν 1 2 2 + m ⋅ g ⋅ Z 1 + m ⋅ u 1

No entanto:

ν 2 = ν 1

Z 2 = Z 1

Por causa disso, as variações de energia cinética e energia potencial gravitacional se anulam e a variação de energia total fica igual à variação de energia interna:

E 2 - E 1 = m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1

Por outro lado:

Q - W = E 2 - E 1

Igualando essas duas últimas equações, achamos que:

Q - W = m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1       ⟹       Q - W = m ⋅ u 2 - u 1       ⟹       Q m - W m = u 2 - u 1      

A energia interna específica u 2 é a energia interna específica do líquido saturado u l a 200   ° C . Já a energia interna específica u 1 é a energia interna específica do vapor saturado u v a 200   ° C .

Isso quer dizer que temos todas as informações para calcular Q / m .

Q m = W m + u 2 - u 1

Agora vamos substituir todas as informações do enunciado nas equações que descobrimos.

Passo 3

Vamos começar pelos cálculos de W / m através da fórmula abaixo.

W m = P ⋅ v 2 - v 1

Olhando a tabela de saturação, somos capazes de encontrar esses três valores!

P = 1553,8   k P a

v 2 = 0,001156   m 3 k g

v 1 = 0,12736   m 3 k g

Com esses três valores somos capazes de calcular o trabalho por unidade de massa. Mas atenção! A questão pede que esse valor esteja em quilojoule por quilograma k J / k g ! Então aqui vai uma dica de como calcular o trabalho na unidade certa.

Para que a unidade do trabalho seja quilojoule k J , a pressão deve estar em quilopascal k P a e o volume específico em metro cúbico por quilograma m 3 / k g !

Para que a unidade do trabalho seja o joule J , a pressão deve estar em pascal P a e o volume específico em metro cúbico por quilograma m 3 / k g !

W m = 1553,8 ⋅ 0,001156 - 0,12736       ⟹       W m = - 196,10   k J k g

Vamos deixar o cálculo de Q / m para o próximo passo!

Passo 4

Q / m é calculado pela equação abaixo.

Q m = W m + u 2 - u 1

Olhando a tabela de saturação, somos capazes de encontrar os valores de energia interna específica!

u 2 = 850,64   k J k g

u 1 = 2595,29   k J k g

Substituindo esses números na equação de cima, achamos:

Q m = W m + u 2 - u 1       ⟹       Q m = - 196,10 + 850,64 - 2595,29       ⟹       Q m = - 1940 , 75   k J k g

Pronto! Calculamos a transferência de calor e o trabalho realizado durante esse processo de condensação!

Resposta

W m = - 196,10   k J k g

Q m = - 1940 , 75   k J k g

Exercício Resolvido #6

Um vaso rígido de 10   L inicialmente contém uma mistura de líquido e vapor de água a 100   ° C com título de 12,3   % . A mistura é então aquecida até que a sua temperatura seja de 150   ° C . Calcule a transferência de calor necessária para este processo.

Passo 1

O exercício diz que um sistema passa por um processo de aquecimento. O sistema é formado inicialmente por uma mistura de líquido e vapor de água a 100   ° C com título de 12,3   % . Depois de ser aquecido, atinge 150   ° C de temperatura (estado 2). A fase do estado final (estado 2) não foi informada. A figura abaixo mostra o sistema antes e depois do processo.

A imagem mostra que o calor pode ser calculado através da primeira lei da termodinâmica.

Q - W = E 2 - E 1       ⟹       Q = W + E 2 - E 1

Mas como podemos calcular Q se não conhecemos quanto vale o trabalho W ?

Na verdade o enunciado fala quanto vale o trabalho. No entanto é um tipo de informação que está escondida nele. Quando ele diz que a água está dentro de um vaso rígido, ele quer dizer que a fronteira do sistema não se move! Ou seja, o volume do sistema não muda!

V 2 = V 1

V 1 = 10   L       ⟹       V 1 = 0,01   m 3

Um vaso rígido é a mesma coisa que um tanque rígido. Os dois são usados para guardar uma substância! Além disso, nenhum dos dois muda de forma ou varia o seu volume!

Por causa disso, o trabalho de movimento de fronteira W vale zero!

W = ∫ 1 2 P ⋅ d V       ⟹       W = 0   J

Mas e a variação da energia total E 2 - E 1 ? Como podemos calcular?

Nós vemos que a energia total E é formada por três tipos de energia: energia cinética, energia potencial gravitacional e energia interna. No entanto, o enunciado não fala que o sistema varia de velocidade ou de altura. Isso significa que essas duas variáveis não mudam de valor.

ν 2 = ν 1

Z 2 = Z 1

Ou seja, a única parte da energia total E que varia é a energia interna U !

E 2 - E 1 = m 2 ⋅ u 2 - m 1 ⋅ u 1

onde:

  • u 2 é a energia interna específica da água a 150   ° C ;
  • u 1 é a energia interna específica da mistura de líquido com vapor a 100   ° C ;
  • m 1 é a massa do sistema no início;
  • m 2 é a massa do sistema no fim do processo de aquecimento.
  • Como o estado 1 é uma mistura de líquido com vapor, sua energia interna é calculada pela fórmula abaixo:

    u 1 = u l 1 ⋅ 1 - x 1 + u v 1 ⋅ x 1

    onde:

  • u l 1 é a energia interna específica da parte líquida da mistura a 100   ° C . Ela é o u l da tabela de saturação para 100   ° C de temperatura;
  • u v 1 é a energia interna específica do vapor da mistura a 100   ° C . Ela é o u v da tabela de saturação para 100   ° C de temperatura.
  • x 1 é o título da mistura do estado 1. Ele vale 0,123 segundo o enunciado
  • O estado 1 já está definido! Mas como nós podemos definir o estado 2, se nós temos apenas sua temperatura T 2 ?

    Descobriremos isso no próximo passo!

    Passo 2

    Precisamos conhecer mais uma propriedade intensiva do estado 2 para fixarmos este estado e descobrirmos as suas propriedades intensivas restantes. Fazemos isso levando em conta outra informação escondida no enunciado. Como o problema não diz que água entra ou sai do vaso, nós deduzimos que a massa de água permanece igual durante todo o aquecimento.

    m 2 = m 1 = m

    Como o volume e a massa de água permanecem iguais durante todo o processo, seu volume específico também permanece igual:

    V 2 m 2 = V 1 m 1 ⟹ v 2 = v 1

    Ou seja, dessa forma descobrimos mais uma propriedade intensiva do estado 2 e conseguimos fixar esse estado.

    Mas como encontramos o volume específico v 1 , se nós não sabemos quanto vale a massa m ?

    Através da tabela de saturação! Como o estado 1 é uma mistura saturada de líquido e vapor de Refrigerante 22, o volume específico v 1 é dado pela fórmula abaixo.

    v 1 = 1 - x 1 ⋅ v l 1 + x 1 ⋅ v v 1

    onde:

    • v l 1 é o volume específico do líquido saturado contido na mistura. Ele está a 100   ° C segundo o enunciado;
    • v v 1 é o volume específico do vapor saturado contido na mistura. Ele está a 100   ° C segundo o enunciado.
    • Com esse valor, podemos reorganizar a equação de volume específico v 1 e encontrar a massa m de água.

      v 1 = V 1 m       ⟹       m = V 1 v 1

      Agora só falta encontrar u 2 ! O próximo passo vai mostrar como fazer isso!

      Passo 3

      Para saber quanto vale u 2 , precisamos descobrir qual é a fase da água nesse estado! Para conseguir descobrir, precisamos comparar o volume específico da água v 2 com os volumes específicos informados pela tabela v l 2   e   v v 2 para 150   ° C de temperatura.

      Onde:

    • v l 2 é o volume específico do líquido saturado a 150   ° C ;
    • v v 2 é o volume específico do vapor saturado a 150   ° C .

    Se volume específico v 2 for maior que volume específico do vapor saturado a 150   ° C v v 2 , então a água é um vapor superaquecido.

    S e   v 2 > v v 2   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

    Se v 2 for menor que volume específico do líquido saturado a 150   ° C v l 2 , a água é um líquido comprimido.

    S e   v 2 < v l 2   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

    Por fim, se o valor de v 2 estiver entre v l 2 e v v 2 , a água está saturada.

    S e   v l 2 ≤ v 2 ≤ v v 2   ⟹   S a t u r a ç ã o

    Se a água for uma mistura saturada, a fórmula de energia interna específica u 2 é:

    u 2 = u l 2 ⋅ 1 - x 2 + u v 2 ⋅ x 2

    onde:

  • u l 2 é a energia interna específica da parte líquida da mistura a 150   ° C . Ela é o u l da tabela de saturação para 150   ° C de temperatura;
  • u v 2 é a energia interna específica do vapor da mistura a 150   ° C . Ela é o u v da tabela de saturação para 150   ° C de temperatura.
  • x 2 é o título da mistura do estado 2.

Podemos calcular x 2 com a equação abaixo.

x 2 = v 2 - v l 2 v v 2 - v l 2

Com isso acabamos tudo o que precisávamos entender para calcular o calor trocado Q . Vamos começar as contas na etapa seguinte!

Passo 2

O primeiro passo para resolver essa questão é descobrir quanto vale u 1 pela equação abaixo.

u 1 = u l 1 ⋅ 1 - x 1 + u v 1 ⋅ x 1

u l 1 e u v 1 podem ser obtidos através da tabela de saturação da água para a temperatura de 100   ° C .

u l 1 = 418,91   k J k g

u v 1 = 2506,50   k J k g

u 1 = 1 - 0,123 ⋅ 418,91 + 0,123 ⋅ 2506,50

u 1 = 675,68   k J k g

O segundo passo para resolver esse exercício é encontrar o volume específico da água antes do aquecimento v 1 .

v 1 = 1 - x 1 ⋅ v l 1 + x 1 ⋅ v v 1

v l 1 e v v 1 podem ser obtidos através da tabela de saturação da água para a temperatura de 100   ° C .

v l 1 = 0,001044   m 3 k g

v v 1 = 1,67290   m 3 k g

v 1 = 1 - 0,123 ⋅ 0,001044 + 0,123 ⋅ 1,67290

v 1 = 0,206682   m 3 k g

Com esse valor conseguimos calcular a massa de água m contida no vaso rígido.

m = V 1 v 1       ⟹       m = 0,01 0,206682       ⟹       m = 0,0484   k g

Agora só falta u 2 ! Mas vamos deixar a determinação de u 2 para o outro passo.

Passo 3

Para saber o valor de u 2 , precisamos encontrar v l 2 e v v 2 para descobrir a fase da água no estado 2. Eles estão na tabela de saturação!

v l 2 = 0,0001090   m 3 k g

v v 2 = 0,39278   m 3 k g

O volume específico v 2 é igual ao volume específico v 1 .

v 2 = v 1       ⟹       v 2 = 0,206682   m 3 k g

Como v 2 está entre v l 2 e v v 2 , a água do estado 2 está saturada! Para achar o seu título x 2 , devemos usar a fórmula abaixo.

x 2 = v 2 - v l 2 v v 2 - v l 2       ⟹       x 2 = 0,206682 - 0,0001090 0,39278 - 0,0001090       ⟹       x 2 = 0,526

Com esse valor, só falta achar u l 2 e u v 2 para calcular u 2 pela equação abaixo.

u 2 = u l 2 ⋅ 1 - x 2 + u v 2 ⋅ x 2

u l 2 = 631,66   k J k g

u v 2 = 2559,54   k J k g

u 2 = 1 - 0,526 ⋅ 631,66 + 0,526 ⋅ 2559,54

u 2 = 1645,72   k J k g

Com isso, nós achamos a variação de energia total da água por causa do aquecimento.

E 2 - E 1 = m 2 ⋅ u 2 - m 1 ⋅ u 1

E 2 - E 1 = 0,0484 ⋅ 1645,72 - 0,0484 ⋅ 675,68

E 2 - E 1 = 46,95   k J

Substituindo todas as incógnitas que nós entramos na fórmula de cálculo de Q , podemos achar esse resultado final!

Q = W + E 1 - E 2       ⟹       Q = 0 + 46,95       ⟹       Q = 46,95   k J

Enfim, chegamos no resultado final!

Resposta

Q = 46,95   k J

Exercício Resolvido #7

Um conjunto cilindro-pistão, que apresenta esbarro, contém 50   k g de água. Inicialmente, o volume e a pressão na água são iguais a 0,1   m 3 e 200   k P a . Quando o pistão encosta no esbarro, o volume da câmara se torna igual a 0,5   m 3 . Transfere-se calor ao sistema até que o pistão toque o esbarro. Determine o calor transferido nesse processo.

Passo 1

O exercício fala sobre 50   k g de água que passa por um processo de aquecimento. Conforme a água vai sendo aquecida, o seu volume vai aumentando. Ou seja, conforme a água vai ganhando energia por calor, o pistão vai levantando lentamente. Quando o pistão toca em um obstáculo chamado de esbarro, o aquecimento para e a água fica com 0,5   m 3 de volume.

A água inicia o processo no estado 1 com 0,1   m 3 de volume e 50   k g e termina o processo no estado 2 com 0,5   m 3 de volume e os mesmos 50   k g de massa. Como nós sabemos os volumes e as massas dos estados 1 e 2, nós já podemos calcular os valores dos volumes específicos da água para os estados 1 e 2!

v 1 = V 1 m

v 2 = V 2 m

V 1 = 0,1   m 3

V 2 = 0,5   m 3

m = 50   k g

Além disso, como a água aumenta de volume, a sua fronteira se move. Isso quer dizer que a água realiza trabalho de movimento de fronteira sobre a sua vizinhança. Em outras palavras, enquanto a água ganha energia por calor, ela perde energia por trabalho. E não é qualquer tipo de trabalho! É um trabalho de movimento de fronteira W .

W = ∫ 1 2 P ⋅ d V

Mas como podemos resolver essa integral para calcular o trabalho? Descobrindo uma informação que está escondida no enunciado! Como a água está apoiando o mesmo pistão durante todo o processo, ela está sendo comprimida pelo mesmo peso durante todo o processo. Issosignifica que a pressão sobre ela não muda. Dizendo isso de outro jeito:

P 2 = P 1 = P = c o n s t a n t e

O enunciado diz quanto vale a pressão P .

P = 200   k P a

Substituindo essa informação na fórmula de trabalho ela muda para:

W = P ⋅ V 2 - V 1

Saber isso é muito importante! Para calcular a quantidade de calor Q que a água ganha, nós vamos ter que usar a primeira lei da termodinâmica! Para usar a primeira lei, nós temos que saber quanto vale o trabalho.

Q - W = m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1       ⟹       Q = W + m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1

Vemos pela equação, que temos que conhecer o trabalho! Mas além disso, também precisamos saber quanto valem as energias internas específicas da água ( u 1 e u 2 ). Para saber quanto valem as energia internas específicas, nós temos que determinar o estado 1 e o estado 2. Para determinar um estado, nós precisamos conhecer duas propriedades intensivas!

Nós sabemos a pressão do estado 1 P 1 e o volume específico do estado 1 v 1 . Como conhecemos duas propriedades intensivas desse estado, ele está determinado. O mesmo ocorre com o estado 2. Nós sabemos a pressão do estado 2 P 2 e o volume específico do estado 2 v 2 ! Isso quer dizer que para achar ( u 1 e u 2 ) só falta usar a tabela de propriedades!

Mas para usar a tabela de propriedades, nós temos que saber qual é a fase da água primeiro! É isso que aprenderemos a fazer no próximo passo.

Passo 2

Para saber quanto valem u 1 e u 2 , precisamos descobrir qual é a fase da água nos estados 1 e 2! Para conseguir descobrir, precisamos comparar os volumes específicos da água ( v 1 e v 2 ) com os volumes específicos informados pela tabela v l   e   v v para 200   k P a de pressão.

Onde:

  • v l é o volume específico do líquido saturado a 200   k P a ;
  • v v é o volume específico do vapor saturado a 200   k P a .

Se volume específico v 2 for maior que volume específico do vapor saturado a 200   k P a v v , então a água é um vapor superaquecido no estado 2.

S e   v 2 > v v 2   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

Da mesma forma, se volume específico v 1 for maior que volume específico do vapor saturado a 200   k P a v v , então a água é um vapor superaquecido no estado 1.

S e   v 1 > v v   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

Se v 2 for menor que volume específico do líquido saturado a 200   k P a v l , a água é um líquido comprimido no estado 2.

S e   v 2 < v l 2   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

Se v 1 for menor que volume específico do líquido saturado a 200   k P a v l , a água é um líquido comprimido no estado 1.

S e   v 1 < v l   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

Por fim, se o valor de v 2 estiver entre v l e v v , a água está saturada no estado 2.

S e   v l ≤ v 2 ≤ v v   ⟹   S a t u r a ç ã o

Por fim, se o valor de v 1 estiver entre v l e v v , a água está saturada no estado 1.

S e   v l ≤ v 1 ≤ v v   ⟹   S a t u r a ç ã o

Se a água for saturada, descobrimos sua energia interna específica olhando para a tabela de saturação. Se a água for vapor superaquecido, descobrimos sua energia interna específica olhando para a tabela de vapor superaquecido. Se a água for líquido comprimido, descobrimos sua energia interna específica olhando para a tabela de líquido comprimido.

Se a água for uma mistura saturada no estado 2, a fórmula de energia interna específica u 2 é:

u 2 = u l ⋅ 1 - x 2 + u v ⋅ x 2

onde:

  • u l é a energia interna específica da parte líquida da mistura a 200   k P a . Ela é o u l da tabela de saturação para 200   k P a de pressão;
  • u v é a energia interna específica do vapor da mistura a 200   k P a . Ela é o u v da tabela de saturação para 200   k P a de pressão.
  • x 2 é o título da mistura do estado 2.

A equação para calcular u 1 , caso a água do estado 1 seja saturada, é muito parecida!

u 1 = u l ⋅ 1 - x 1 + u v ⋅ x 1

Onde x 1 é o título da água do estado 1.

Podemos calcular x 1 e x 2 com as equações abaixo.

x 2 = v 2 - v l v v - v l

x 1 = v 1 - v l v v - v l

Com isso acabamos tudo o que precisávamos entender para calcular o calor trocado Q . Vamos começar as contas na etapa seguinte!

Passo 3

Começando as contas, encontrando os volumes específicos v 1 e v 2 .

v 1 = V 1 m       ⟹       v 1 = 0,1 50       ⟹       v 1 = 0,002   m 3 k g

v 2 = V 2 m       ⟹       v 2 = 0,5 50       ⟹       v 2 = 0,01   m 3 k g

Para comparar esses valores de volume específico e descobrir a fase da água, precisamos conhecer v l e v v . Eles são obtidos através da tabela de saturação da água para a pressão de 200   k P a .

v l = 0,001061   m 3 k g

v v = 0,88573   m 3 k g

Como os dois volumes específicos v 1 e v 2 estão entre v l e v v , a água está saturada no estado 1 e no estado 2. Ou seja, para achar as energias internas específicas u 1 e u 2 , nós temos que achar os títulos x 1 e x 2 .

x 2 = v 2 - v l v v - v l       ⟹       x 2 = 0,01 - 0,001061 0,88573 - 0,001061       ⟹       x 2 = 0,0101

x 1 = v 1 - v l v v - v l       ⟹       x 1 = 0,002 - 0,001061 0,88573 - 0,001061       ⟹       x 1 = 0,0011

Para calcular u 1 e u 2 temos que achar u l e u v na tabela de saturação. Isso será feito na próxima etapa!

Passo 4

u l = 504,47   k J k g

u v = 2529,49   k J k g

Substituindo esses valores nas equações, encontramos:

u 2 = u l ⋅ 1 - x 2 + u v ⋅ x 2

u 2 = 504,47 ⋅ 1 - 0,0101 + 2529,49 ⋅ 0,0101

u 2 = 524,92   k J k g

u 1 = u l ⋅ 1 - x 1 + u v ⋅ x 1

u 1 = 504,47 ⋅ 1 - 0,0011 + 2529,49 ⋅ 0,0011

u 1 = 506,70   k J k g

Para usar a equação da primeira lei só falta achar o trabalho W ! Essa tarefa vai ficar pro passo seguinte!

Passo 5

W = P ⋅ V 2 - V 1

W = 200 ⋅ 0,5 - 0,1

W = 80   k J

Sabendo disso, podemos enfim substituir os valores na equação da primeira lei.

Q = W + m ⋅ u 2 - m ⋅ u 1

Q = 80 + 50 ⋅ 524,92 - 50 ⋅ 506,70

Q = 991   k J

Esse é o resultado final!

Resposta

Q = 991   k J

Exercício Resolvido #8

A figura abaixo mostra um tanque que está dividido em duas regiões por meio de uma membrana. A região A apresenta V A = 1   m 3 e contém água a 200   k P a e com v A = 0,5   m 3 / k g . A região B contém 3,5   k g de água a 400   ° C e 0,5   M P a . A membrana é, então, rompida e espera-se que seja estabelecido o equilíbrio. Sabendo que a temperatura final do processo é 100   ° C , determine a transferência de calor que ocorre durante o processo.

Passo 1

O enunciado fala sobre um tanque cheio de água que passa por um processo de troca de calor com o ambiente. Antes de trocar calor (estado 1), o tanque está dividido em duas partes: parte A e parte B. Assim que a membrana que separa as duas partes é rompida, a troca de calor começa. A água que estava na parte A se mistura com a água que estava na parte B (estado 2).

A questão quer saber quanto vale essa troca de calor Q . Para calcular isso, precisamos usar a primeira lei da termodinâmica.

Q - W = U 2 - U 1       ⟹       Q = W + U 2 - U 1

Precisamos de W , U 2 e U 1 para achar Q . Vamos começar pelo trabalho W !

Quando a membrana se rompe, a água que estava na parte A se expande para a parte B e a água que estava na parte B se expande para a parte A. Essas duas expansões são consideradas trabalho de movimento de fronteira?

Essa expansão não é trabalho! Ela é expansão não resistida! Mas se a água que estava presa em uma das partes aumenta o seu volume, por que não consideramos que ela realiza trabalho?

Porque para ser trabalho, ela deveria empurrar a outra parte de água com uma força! Mas na verdade ela se mistura com a outra, ao invés de empurrar a outra parte.

Isso quer dizer que o processo de expansão não tem trabalho.

W = 0   J

Agora, para calcular Q só falta encontrar as energias internas U 1 e U 2 .

O estado 1 da água está dividido em parte A e parte B. Isso significa que a energia interna total desse estado U 1 é a soma da energia interna de cada parte ( U A e U B ).

U 1 = U A + U B

Para calcular a energia interna de cada parte, devemos nos lembrar da equação de energia interna.

U A = m A ⋅ u A

U B = m B ⋅ u B

onde:

  • u A é a energia interna específica da parte A no estado 1;
  • u B é a energia interna específica da parte B no estado 1;
  • m A é a massa de água da parte A no estado 1;
  • m B é a massa de água da parte B no estado 1.

Entenderemos como calcular cada uma dessas quatro variáveis na próxima etapa.

Passo 2

Para calcular m A , precisamos reorganizar a equação de volume específico v A .

v A = V A m A       ⟹       m A = V A v A

O enunciado já fornece diretamente V A e v A .

V A = 1   m 3

v A = 0,5   m 3 k g

Como o enunciado informa a pressão P A e o volume específico v A da parte A no estado 1, o estado da parte A já está definido. Isso quer dizer que para achar u A , só temos que descobrir a fase da parte A e depois pegar u A na tabela de propriedades.

P A = 200   k P a

Para conseguir descobrir a fase, precisamos comparar o volume específico da água v A com os volumes específicos informados pela tabela v l A   e   v v A para 200   k P a de pressão.

Onde:

  • v l A é o volume específico do líquido saturado a 200   k P a de pressão;
  • v v A é o volume específico do vapor saturado a 200   k P a de pressão.
  • Se volume específico v A for maior que volume específico do vapor saturado a 200   k P a de pressão v v A , então a água é um vapor superaquecido.

    S e   v A > v v A   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

    Se v A for menor que volume específico do líquido saturado a 200   k P a de pressão v l A , a água é um líquido comprimido.

    S e   v A < v l A   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

    Por fim, se o valor de v A estiver entre v l A e v v A , a água está saturada.

    S e   v l A ≤ v A ≤ v v A   ⟹   S a t u r a ç ã o

    Se a água da parte A estiver saturada, vamos precisar conhecer o seu título x A para calcular u A .

    x A = v A - v l A v v A - v l A

    Depois, usamos esse valor na fórmula de u A .

    u A = u l A ⋅ 1 - x A + u v A ⋅ x A

    onde:

    • u l A é a energia interna específica da parte líquida da mistura a 200   k P a de pressão. Ela é o u l da tabela de saturação para 200   k P a de pressão;
    • u v A é a energia interna específica do vapor da mistura a 200   k P a de pressão. Ela é o u v da tabela de saturação para 200   k P a de pressão.
    • O enunciado informa diretamente a temperatura T B e a pressão P B da parte B.

      T B = 400   ° C

      P B = 0,5   M P a

      Com essas duas propriedades intensivas, o estado 1 da parte B está definido! Isso significa que para encontrar u B só precisamos descobrir sua fase e depois achar a energia interna específica na tabela.

      Para descobrir a fase da parte B, comparamos a temperatura T B com a temperatura de saturação da parte B T S A T B para 0,5   M P a de pressão!

      Se T B for maior que T S A T B , então a água da parte B é vapor superaquecido.

      S e   T B > T S A T B   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

      Se T B for menor que T S A T B , então a água da parte B é líquido comprimido.

      S e   T B < T S A T B   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

      Se T B for igual a T S A T B , então a água da parte B está saturada.

      S e   T B = T S A T B   ⟹   S a t u r a ç ã o

      Se a parte B for saturada, pegamos a energia interna específica u B pela tabela de saturação. Se a parte B for vapor superaquecido, pegamos a energia interna específica u B pela tabela de vapor superaquecido. Se a parte B for líquido comprimido, pegamos a energia interna específica u B pela tabela de líquido comprimido.

      A massa m B da parte B é informada diretamente pelo enunciado.

      m B = 3,5   k g

      No próximo passo, vamos aprender a calcular a energia interna U 2 para conseguir achar Q .

      Passo 3

      A equação da energia interna final da água U 2 é:

      U 2 = u 2 ⋅ m 2

      Como a massa de água no tanque não muda com a troca de calor, o valor de m 2 é igual à soma das massas da parte A m A e da parte B m B .

      m 2 = m A + m B

      A primeira etapa para achar u 2 é definir o estado 2. Para isso, precisamos do valor de duas propriedades intensivas desse estado. O enunciado já informa a temperatura desse estado T 2 .

      T 2 = 100   ° C

      Resta saber o valor de outra propriedade intensiva. Para conseguir isso, temos que lembrar que o volume total do tanque não muda. Ou seja, o volume do tanque depois de troca de calor V 2 é igual a soma dos volumes das partes A e B antes da troca de calor.

      V 2 = V A + V B

      O volume da parte B é calculado, reorganizando a equação do volume específico v B .

      v B = V B m B       ⟹       V B = m B ⋅ v B

      O volume específico v B é obtido pela tabela de propriedades.

      A partir desse valor de volume V 2 , podemos calcular a propriedade intensiva v 2 e definir o estado 2.

      v 2 = V 2 m 2

      A etapa final para achar u 2 é descobrir a fase da água no estado 2.

      Para conseguir descobrir a fase, precisamos comparar o volume específico da água v 2 com os volumes específicos informados pela tabela v l 2   e   v v 2 para 100   ° C de temperatura.

      Onde:

    • v l 2 é o volume específico do líquido saturado a 100   ° C de temperatura;
    • v v 2 é o volume específico do vapor saturado a 100   ° C de temperatura.

    Se volume específico v 2 for maior que volume específico do vapor saturado a 100   ° C de temperatura v v 2 , então a água é um vapor superaquecido.

    S e   v 2 > v v 2   ⟹   V a p o r   s u p e r a q u e c i d o

    Se v 2 for menor que volume específico do líquido saturado a 100   ° C de temperatura v l 2 , a água é um líquido comprimido.

    S e   v 2 < v l 2   ⟹   L í q u i d o   c o m p r i m i d o

    Por fim, se o valor de v 2 estiver entre v l 2 e v v 2 , a água está saturada.

    S e   v l 2 ≤ v 2 ≤ v v 2   ⟹   S a t u r a ç ã o

    Se a água do estado 2 estiver saturada, vamos precisar conhecer o seu título x 2 para calcular u 2 .

    x 2 = v 2 - v l 2 v v 2 - v l 2

    Depois, usamos esse valor na fórmula de u 2 .

    u 2 = u l 2 ⋅ 1 - x 2 + u v 2 ⋅ x 2

    onde:

  • u l 2 é a energia interna específica da parte líquida da mistura a 100   ° C de temperatura. Ela é o u l da tabela de saturação para 100   ° C de temperatura;
  • u v 2 é a energia interna específica do vapor da mistura a 100   ° C de temperatura. Ela é o u v da tabela de saturação para 100   ° C de temperatura.

Com todas essas informações, podemos calcular Q através da primeira lei da termodinâmica. Mas vamos deixar essa etapa para o passo seguinte!

Passo 3

Iniciamos os cálculos descobrindo quanto vale a massa de água que está inicialmente na parte A.

m A = V A v A       ⟹       m A = 1 0,5       ⟹       m A = 2   k g

Para achar a fase da parte A, temos que comparar v A com v l A e v v A . Esses dois volumes específicos são encontrados na tabela de saturação da água.

v l A = 0,001061   m 3 k g

v v A = 0,88573   m 3 k g

Como v A é 0,5   m 3 / k g , seu valor está entre v l A e v v A . Isso quer dizer que a água da parte A está saturada. Sabendo disso, temos que descobrir o título x A para calcular u A .

x A = v A - v l A v v A - v l A       ⟹       x A = 0,5 - 0,001061 0,88573 - 0,001061       ⟹       x A = 0,5640

Também precisamos dos valores de u l A e u v A para cacular u A . Essas duas energias intenas específicas são encontradas na tabela de saturação da água.

u l A = 504,47   k J k g

u v A = 2529,49   k J k g

Substituindo esses valores na fórmula de u A , achamos que:

u A = u l A ⋅ 1 - x A + u v A ⋅ x A

u A = 504,47 ⋅ 1 - 0,5640 + 2529,49 ⋅ 0,5640

u A = 1646,58   k J k g

Já que temos a massa e a energia interna específica da parte A, podemos achar sua energia interna U A .

U A = m A ⋅ u A       ⟹       U A = 2 ⋅ 1646,58       ⟹       U A = 3293,16   k J

Para achar a energia interna do estado 1, só falta saber quanto vale a energia interna específica da parte B. Para isso, descobrimos a fase da parte B, comparando a temperatura T B 400   ° C com a temperatura de saturação da parte B T S A T B para 0,5   M P a de pressão. Essa temperatura de saturação é obtida pela tabela do vapor superaquecido.

T S A T B = 151,86   ° C

Como a temperatura da parte B 400   ° C é maior que a temperatura de saturação 151,86   ° C , a água da parte B é um vapor superaquecido. Isso significa que a energia interna específica u B está na tabela de vapor superaquecido.

u B = 2963,2   k J k g

Agora podemos calcular a energia interna da parte B U B .

U B = m B ⋅ u B       ⟹       U B = 3,5 ⋅ 2963,19       ⟹       U B = 10371,165   k J

A energia interna total da água no estado 1 vale:

U 1 = U A + U B       ⟹       U 1 = 3293,16 + 10371,165         ⟹       U 1 = 13664,325   k J

O cálculo de U 2 ficará para o passo a seguir.

Passo 4

A massa do estado 2 vale:

m 2 = m A + m B       ⟹       m 2 = 2 + 3,5       ⟹       m 2 = 5,5   k g

Já o volume do estado 2 precisa do valor da parte B para ser encontrado.

V B = m B ⋅ v B       ⟹       V B = 3,5 ⋅ 0,61728       ⟹       V B = 2,16048   m 3

Sabendo disso:

V 2 = V A + V B       ⟹       V 2 = 1 + 2,16048       ⟹       V 2 = 3,16048   m 3

Com a massa e o volume do estado 2, somos capazes de achar o volume específico desse estado.

v 2 = V 2 m 2       ⟹       v 2 = 3,16048 5,5       ⟹       v 2 = 0,57463   m 3 k g

Com esse valor, achamos a fase da água no estado 2. Para descobrir isso, pegamos v l 2 e v v 2 na tabela de saturação.

v l 2 = 0,001044   m 3 k g

v v 2 = 1,6729   m 3 k g

Como v 2 é 0,57463   m 3 / k g , seu valor está entre v l 2 e v v 2 . Isso quer dizer que a água no estado 2 está saturada. Sabendo disso, temos que descobrir o título x 2 para calcular u 2 .

x 2 = v 2 - v l 2 v v 2 - v l 2       ⟹       x 2 = 0,57463 - 0,001044 1,6729 - 0,001044       ⟹       x 2 = 0,3431

Também precisamos dos valores de u l 2 e u v 2 para cacular u 2 . Essas duas energias intenas específicas são encontradas na tabela de saturação da água.

u l 2 = 418,91   k J k g

u v 2 = 2506,5   k J k g

Substituindo esses valores na fórmula de u 2 , achamos que:

u 2 = u l 2 ⋅ 1 - x 2 + u v 2 ⋅ x 2

u 2 = 418,91 ⋅ 1 - 0,3431 + 2506,5 ⋅ 0,3431

u 2 = 1135,16   k J k g

A energia interna do estado 2 é:

U 2 = m 2 ⋅ u 2     ⟹       U 2 = 5,5 ⋅ 1135,16       ⟹       U 2 = 6243,38   k J

Com esse valor nós finalmente somos capazes de calcular o calor trocado Q no passo seguinte!

Passo 5

Substituindo todos os valores que encontramos na primeira lei da termodinâmica, achamos:

Q = W + U 2 - U 1       ⟹       Q = 0 + 6243,38 - 13664,325       ⟹       Q = - 7420,945   k J

Esse é o resultado final!

Resposta

Q = - 7420,945   k J

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