Construindo Matrizes e TLs
Teoria
Fala galera, lembra de quando vimos como os autovalores e autovetores podem nos dizer o que uma matriz faz?
Por exemplo, se um autoespaço estava associado ao autovalor e seu complemento ortogonal estivesse associado ao autovalor , nós teríamos uma projeção. Então, os autovalores e autovetores nos permitiam de fato entender o que está por trás de um monte de números em uma matriz.
Tá, mas onde eu quero chegar com isso? Agora que temos a diagonalização não precisamos mais nos limitar a dizer o que alguma matriz faz! Agora nós podemos montar a matriz ou que quisermos!!
Vamos ver um exemplo de como fazemos isso.
Vamos construir a matriz reflexão em torno do plano no
Bom, como fazemos isso? Primeiro devemos lembrar que uma reflexão sempre terá dois autovalores: e .
Se estamos refletindo em torno do plano , então os vetores desse plano não serão alterados. Logo, estarão associados ao autovalor . Vamos descobrir quais são eles xD
Então os vetores do plano tem essa cara aqui:
Então uma base para esse autoespaço são os autovetores e .
Por fim, o complemento ortogonal desse plano será o autoespaço associado ao autovalor . Como estamos no ele será uma reta. Uma base para essa reta é o vetor cujas coordenadas são dadas pelos coeficientes da equação do plano:
Opa, então resumindo tudo, temos os autovetores e associados ao autovalor . E o autovetor associado ao autovalor .
Agora vem a parte da diagonalização. Vamos jogar essas informações na nossa fórmula :
Agora calculamos nossa matriz:
E está aí a matriz que faz o que a gente queria!! Ah e seu eu quisesse a ? Aí é só aplicar o vetor na matriz:
E é isso aí galera. Maneiro né? ;)
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 211 – Fix 7.13
Determine a decomposição espectral de se:
uma projeção ortogonal no plano
uma projeção ortogonal em
Obs.: Não precisa calcular as inversas.
Passo 1
Bom a decomposição espectral é simplesmente escrever uma matriz na forma . Para isso, temos que achar os autovalores e autovetores da .
Uma projeção ortogonal possui autovalores e . O autovalor estará associado aos autovalores que fazem parte do plano em que estamos projetando. Os vetores do plano tem essa cara:
Logo, temos os autovetores e associados ao autovalor .
Quando ao autovetor associado ao autovalor , será o vetor gerador da reta ortogonal ao plano. Este tem suas coordenadas dadas pelos coeficientes da equação do plano:
Logo, é autovetor associado ao autovalor .
Passo 2
Agora vamos montar as matrizes:
E a decomposição espectral é:
Passo 3
Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores.
Uma projeção possui autovalores e . Como estamos projetando no plano gerado pelos vetores e , eles serão autovetores associados ao autovalor .
Já o autoespaço associado ao autovalor será o plano ortogonal à esse plano (lembre-se que estamos no . Para gerar esse plano precisamos de dois vetores que sejam ortogonais a e a . Chamando esse vetor que queremos achar de , temos:
Fazendo :
Substituindo em :
Logo, os vetores desse plano são desse tipo:
Então temos os autovetores e associados ao autovalor .
Passo 4
Agora vamos montar nossas matrizes:
Então a decomposição espectral fica:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Elaboração Própria
Encontre a matriz que produz as transformações abaixo:
Uma reflexão em torno da reta no
Uma projeção na reta gerada pelo vetor
Uma projeção no plano no
Passo 1
Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores que queremos e então construímos a matriz usando a fórmula .
Uma reflexão possui autovalores e . Como estamos refletindo em torno da reta cuja equação é , o autovetor associado ao autovalor será um vetor gerador da reta.
Os vetores dessa reta são da forma:
Logo, temos o autovetor associado ao autovalor .
Já o autovetor associado ao autovalor é algum vetor perpendicular à . Vamos usar o .
Passo 2
Agora vamos montar nossas matrizes pra jogar na fórmula:
Então nossa matriz é:
Passo 3
Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores que são pedidos.
Uma projeção possui autovalores e . Como estamos projetando na reta gerada por , ele será um autovetor associado ao autovalor .
Já o autoespaço associado ao autovalor será o plano ortogonal à reta. Para gerar esse plano precisamos de dois vetores que sejam ortogonais a .
Então podemos usar os vetores e como autovetores associados ao autovalor .
Como os vetores são ortogonais entre si, vamos normalizá-los pra facilitar a inversão:
Passo 4
Agora vamos montar nossas matrizes pra jogar na fórmula:
Então nossa matriz é:
Passo 5
De novo, vamos achar os autovalores e autovetores que fazer o que e enunciado está pedindo.
Como é uma projeção temos os autovalores e . Estamos refletindo em torno do plano abaixo:
Então os vetores desse plano tem essa cara:
Chegamos então aos autovetores e associados ao autovalor .
Agora os vetores que geram o plano ortogonal (lembre-se que estamos no ) podem ser dados pela equação do plano:
Então temos os autovetores e associados ao autovalor .
Passo 6
Agora vamos ajeitar esses valores nas matrizes:
Agora precisamos achar a inversa de :
Ufa! Finalmente encontramos nossa matriz inversa:
Agora é só fazer o produto:
Resposta