Exercícios de Construindo Matrizes e TLs - Lista de Exercícios Resolvida

Ver Teoria

Questão 1

Determine a decomposição espectral de se:

uma projeção ortogonal no plano

uma projeção ortogonal em

Obs.: Não precisa calcular as inversas.

Ver solução completa

Questão 2

Encontre a matriz que produz as transformações abaixo:

Uma reflexão em torno da reta no

Uma projeção na reta gerada pelo vetor

Uma projeção no plano no

Ver solução completa

Questão 3

Seja uma transformação linear que multiplica o vetor por e o vetor por . Seja a matriz de na base canônica. Calcule a soma dos elementos da primeira linha de .

Ver solução completa

Questão 4

Seja a reflexão através de uma reta que passa pela origem.

Considere as afirmativas:

Os autovalores de são e .

Existem dois autovetores e de tais que é linearmente independente.

(I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

(I) é falsa e (II) é falsa.

(I) é verdadeira e (II) é falsa.

(I) é falsa e (II) é verdadeira.

Ver solução completa

Questão 5

Determine a transformação linear tal que e são vetores do e é autovetor associado ao autovalor .

Ver solução completa

Questão 6

Obtenha, por composição, a matriz associada a uma reflexão pelo eixo na base canônica do .

Dica: Numa base , onde o eixo de reflexão é um dos eixos coordenados, a transformação leva um vetor à sua imagem , se o eixo for horizontal (ou, alternativamente, à imagem , se o eixo for vertical). Note também que esta base pode ser obtida a partir da base canônica por rotação.

Ver solução completa

Questão 7

A matriz é simétrica com autovalores , e . Sabemos que e são autovetores de .

(b) Determine uma decomposição espectral de .

Ver solução completa

Questão 8

A matriz possui autovetores e associados aos autovalores e , respectivamente.

Considere as afirmativas:

Estas informações determinam a 2º colunas de .

Estas informações determinam a coluna de .

(I) é falsa e (II) é verdadeira.

(I) é verdadeira e (II) é falsa.

(I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

(I) é falsa e (II) é verdadeira.

Ver solução completa

Questão 9

A matriz é simétrica, é um autovalor de com multiplicidade 2 e

Determine uma decomposição espectral dessa matriz

Ver solução completa

Questão 10

Seja uma matriz e sejam e seus autovalores. A dimensão do núcleo de é:

Ver solução completa

Questão 11

08) Considere as matrizes e Sabendo que é uma matriz diagonal, é correto afirmar que a soma dos elementos na segunda coluna de é igual a

A)

B)

C)

D)

E)

Ver solução completa

Questão 12

Seja uma transformação linear que multiplica o vetor por e o vetor por . Seja a matriz de na base canônica. A soma dos elementos da primeira linha de é:

Ver solução completa

Exercícios de Construindo Matrizes e TLs - Lista de Exercícios Resolvida

Determine a decomposição espectral de se:

uma projeção ortogonal no plano

uma projeção ortogonal em

Obs.: Não precisa calcular as inversas.

Encontre a matriz que produz as transformações abaixo:

Uma reflexão em torno da reta no

Uma projeção na reta gerada pelo vetor

Uma projeção no plano no

Seja uma transformação linear que multiplica o vetor por e o vetor por . Seja a matriz de na base canônica. Calcule a soma dos elementos da primeira linha de .

Determine a transformação linear tal que e são vetores do e é autovetor associado ao autovalor .

A matriz é simétrica com autovalores , e . Sabemos que e são autovetores de .

(b) Determine uma decomposição espectral de .

A matriz é simétrica, é um autovalor de com multiplicidade 2 e

Determine uma decomposição espectral dessa matriz

Seja uma matriz e sejam e seus autovalores. A dimensão do núcleo de é:

08) Considere as matrizes e Sabendo que é uma matriz diagonal, é correto afirmar que a soma dos elementos na segunda coluna de é igual a

A)

B)

C)

D)

E)

Seja uma transformação linear que multiplica o vetor por e o vetor por . Seja a matriz de na base canônica. A soma dos elementos da primeira linha de é:

Listas de Exercícios Resolvidos

Principais Conceitos de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Exercícios de Construindo Matrizes e TLs - Lista de Exercícios Resolvida

Determine a decomposição espectral de T se: a T : R 3 → R 3 uma projeção ortogonal no plano x - 2 y - z = 0 b T : R 4 → R 4 uma projeção ortogonal em H = 1,2 , 3,4 , 2,3 , 4,5 Obs.: Não precisa calcular as inversas.

Encontre a matriz que produz as transformações abaixo: a Uma reflexão em torno da reta x = 3 y no R 2 b Uma projeção na reta gerada pelo vetor 1 , - 1,0 c Uma projeção no plano x + y - w = 0 y - z = 0 no R 4

Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear que multiplica o vetor - 1,1 por 4 e o vetor 1,2 por 1 4 . Seja A a matriz de T na base canônica. Calcule a soma dos elementos da primeira linha de A . ( a ) 3 2 ( b ) - 4 3 ( c ) 0 ( d ) 1 4

Determine a transformação linear T : R 3 → R 3 tal que 2 , 1,1 e 0,1 , 2 são vetores do K e r T e 2,0 , - 2 é autovetor associado ao autovalor 3 .

A matriz A é simétrica com autovalores 3 , 3 e - 1 . Sabemos que ( 1 , 1 , 1 ) e ( 2 , - 1 , 0 ) são autovetores de A . (b) Determine uma decomposição espectral de A .

A matriz A é simétrica, λ = 3 é um autovalor de A com multiplicidade 2 e A ∙ 1 - 1 1 = 1 - 1 1 Determine uma decomposição espectral dessa matriz

Seja A uma matriz 4 × 4 e sejam - 5 , - 2 , 0 e 8 seus autovalores. A dimensão do núcleo de A T é: 2 3 1 0

08) Considere as matrizes A = 1 3 3 + i - 2 i - 4 i 3 - i e Q = 1 1 - 1 2 . Sabendo que Q - 1 A Q é uma matriz diagonal, é correto afirmar que a soma dos elementos na segunda coluna de A 400 é igual a A) 2 200 B) 3 ⋅ 2 200 C) 2 201 D) 3 ⋅ 3 203 E) 3 ⋅ 2 201

Seja T : R 2 → R 2 uma transformação linear que multiplica o vetor 1,2 por 3 e o vetor - 2 , - 3 por 1 3 . Seja A a matriz de T na base canônica. A soma dos elementos da primeira linha de A é: a - 1 3 b - 10 3 c - 4 3 d - 7 3

Listas de Exercícios Resolvidos

Principais Conceitos de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Determine a decomposição espectral de se:

uma projeção ortogonal no plano

uma projeção ortogonal em

Obs.: Não precisa calcular as inversas.

Encontre a matriz que produz as transformações abaixo:

Uma reflexão em torno da reta no

Uma projeção na reta gerada pelo vetor

Uma projeção no plano no

Seja uma transformação linear que multiplica o vetor por e o vetor por . Seja a matriz de na base canônica. Calcule a soma dos elementos da primeira linha de .

Determine a transformação linear tal que e são vetores do e é autovetor associado ao autovalor .

A matriz é simétrica com autovalores , e . Sabemos que e são autovetores de .

(b) Determine uma decomposição espectral de .

A matriz é simétrica, é um autovalor de com multiplicidade 2 e

Determine uma decomposição espectral dessa matriz

Seja uma matriz e sejam e seus autovalores. A dimensão do núcleo de é:

08) Considere as matrizes e Sabendo que é uma matriz diagonal, é correto afirmar que a soma dos elementos na segunda coluna de é igual a

A)

B)

C)

D)

E)

Seja uma transformação linear que multiplica o vetor por e o vetor por . Seja a matriz de na base canônica. A soma dos elementos da primeira linha de é: