Teoria

E aí, tudo bem? Se eu te der uma matriz e pedir pra você elevar ela à décima potência, como você faria?!

Matriz ao Quadrado

Vamos começar aprender Potência de Matriz do mais simples…bora ver como elevar uma matriz ao quadrado! Se liga nesse exemplo:

Essa continha é relativamente simples, ela funciona como uma multiplicação de matrizes normal, a única diferença é que você vai multiplicar a matriz por ela mesma!

Como Calcular a Potência de uma Matriz?

Agora vamos pegar a mesma matriz e elevar ela ao cubo! Pra a gente fazer esse cálculo a gente vai pegar a nossa matriz e multiplicar ela por ela mesma três vezes. Assim:

Sim, essa conta é bem chatinha, principalmente se quiséssemos elevar uma matriz a um expoente grande! A boa notícia é que esse método funciona sempre!

Existe um outro método…que não vai funcionar sempre, mas quando funcionar vai facilitar MUITO a nossa vida! Bora conhecer?

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Potência de uma Matriz Simétrica

Esse método que eu vou te ensinar agora só vai funcionar pra matrizes simétricas. Em uma matriz simétrica a diagonal principal vai funcionar como uma espécie de espelho, saca só:

Matriz simétrica
Matriz simétrica

Entendeu o espirito da coisa?! Agora vamos ver como funciona esse truque, vamos pegar a nossa matriz , que é simétrica, e elevar ela a décima potência!

Você também pode conferir esse exemplo em vídeo:

Exemplo: Calcule

Vamos começar calculado as matrizes e . Pra isso, precisamos encontrar os autovalores de .

Fazendo algumas contas achamos que os autovalores são =0 e e seus respectivos autoespaços são:

Ou seja, agora já sabemos os valores de , e :

E agora ta tudo só no ponto de elevar!

Substituímos os valores:

Vamos efetuar potenciação da matriz :

E agora é só resolver as multiplicações matriciais:

E prontinho! Resolvido!

Potência de uma Matriz Simétrica

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