Potenciação de Matrizes
Teoria
E aí, tudo bem? Se eu te der uma matriz e pedir pra você elevar ela à décima potência, como você faria?!
Matriz ao Quadrado
Vamos começar aprender Potência de Matriz do mais simples…bora ver como elevar uma matriz ao quadrado! Se liga nesse exemplo:
Essa continha é relativamente simples, ela funciona como uma multiplicação de matrizes normal, a única diferença é que você vai multiplicar a matriz por ela mesma!
Como Calcular a Potência de uma Matriz?
Agora vamos pegar a mesma matriz
Sim, essa conta é bem chatinha, principalmente se quiséssemos elevar uma matriz a um expoente grande! A boa notícia é que esse método funciona sempre!
Existe um outro método…que não vai funcionar sempre, mas quando funcionar vai facilitar MUITO a nossa vida! Bora conhecer?
📢 Clique para ver mais:
- Potência de Matriz: Exercícios Resolvidos
- Como diagonalizar uma matriz
- Autovalores e Autovetores de uma Matriz;
Potência de uma Matriz Simétrica
Esse método que eu vou te ensinar agora só vai funcionar pra matrizes simétricas. Em uma matriz simétrica a diagonal principal vai funcionar como uma espécie de espelho, saca só:
Entendeu o espirito da coisa?! Agora vamos ver como funciona esse truque, vamos pegar a nossa matriz
Você também pode conferir esse exemplo em vídeo:
Exemplo: Calcule
Vamos começar calculado as matrizes
Fazendo algumas contas achamos que os autovalores são
Ou seja, agora já sabemos os valores de
E agora ta tudo só no ponto de elevar!
Substituímos os valores:
Vamos efetuar potenciação da matriz :
E agora é só resolver as multiplicações matriciais:
E prontinho! Resolvido!
Potência de uma Matriz Simétrica
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Curso Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações Terceira Edição, Marco Cabral e Paulo Goldfeld, página 214 e 211 Prob. 7.15 a), Prob. 7.15 c)
Calcule:
para
para
Passo 1
Para elevar uma matriz a um expoente precisamos diagonalizar ela, então vamos lá.
Dazendo algumas contas achamos que os autoespaços são:
Para
E para :
Passo 2
Assim, a matriz diagonal fica:
E a matriz dos autovetores e a sua inversa:
Agora fica fácil de elevar a matriz a :
Passo 3
Caramba, raíz quadrada de uma matriz?? Como assim??? Lembre-se que calcular a raiz quadrada de qualquer coisa é elevar a , logo estamos elevando a matriz a um expoente e assim podemos aplicar a mesma ideia da letra .
Vamos calcular os autovalores de :
Fazendo algumas contas podemos ver que os autoespaços são:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Antes de avançar vamos botar aqui a matriz dos autovalores e dos autovetores:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 213 – Ext 7.16
Sejam , e . Calcule
Passo 1
Sabemos que . Logo, a primeira coisa que vamos fazer é calcular que ainda não conhecemos!
Passo 2
Agora podemos resolver:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 214 – Ext 7.23 – b)
Calcule
Passo 1
Bom, se alguém quiser multiplicar essa matriz vezes fique a vontade. Pessoalmente eu prefiro fazer de um jeito que não leve minha vida toda haha. Vamos diagonalizar ela!
Primeiro passo, achar os autovalores:
Logo, temos como autovalores , e .
Passo 2
Agora encontramos os autovetores:
Como não temos nenhuma condição para , ele pode assumir qualquer valor. Assim, um autovetor que possui autovalor é:
Assim, um autovetor que possui autovalor é:
Assim, um autovetor que possui autovalor é:
Passo 3
Já temos nossa e nossa :
Vamos achar a agora:
Beleza, achamos nossa
Passo 4
Agora podemos resolver:
Obviamente não vamos resolver , então podemos escrever o resultado como:
Resposta