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Limite de Matrizes

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Teoria

Hã o que é isso?? Limite e matrizes juntos??? Não se espante que é mais tranquilo do que você pensa!

Você já pensou em calcular o limite de:

lim k → ∞ ⁡ A k

Provavelmente não, porque ninguém normal pensaria nisso, hahah. Mas você tem alguma ideia de como fazer isso??? Bom já que esse é o capítulo de diagonalização eu iria por aí.

Vamos supor que:

A = 7 4 - 10 - 17 3

Tá, mas como se eleva uma matriz a um expoente mesmo? Ahh sim usando diagonalização! Calculando os autovalores e autovetores, vemos que:

λ = 1   e   λ = 1 3

E os autoespaços são:

V λ = 1 = s p a n 2 , - 3

V λ = 1 3 = s p a n - 3,5

Portanto:

P = 2 - 3 - 3 5  

D = 1 0 0 1 3

P - 1 = 5 3 3 2

Tá, então sabemos que:

A k = P ⋅ D k ⋅ P - 1 ∴

D k = 1 k 0 0 1 k 3 k

Aplicando o limite:

lim k → ∞ ⁡ A k = lim k → ∞ ⁡ P ⋅ D k ⋅ P - 1 ⇒

lim k → ∞ ⁡ A k = P lim k → ∞ ⁡ D k P - 1

E assim, basta calcular o limite na matriz diagonal, ou seja, o limite em cada um de seus elementos na diagonal. Como:

lim k → ∞ ⁡ 1 k = 1

lim k → ∞ ⁡ 1 3 k = 0

Podemos dizer que:

lim k → ∞ ⁡ D k = 1 0 0 0 ∴

lim k → ∞ ⁡ A k = P ⋅ 1 0 0 0 ⋅ P - 1 ⇒

lim k → ∞ ⁡ A k = 10 6 - 15 - 9

Mas se por caso os autovalores tivessem dado número diferente de 1 , ou de números entre 0 e 1 , por exemplo: λ = 3 e λ = 5

lim k → ∞ ⁡ D k = 3 k 0 0 5 k

O que daria infinito nas diagonais! E você poderia pensar, ah então o limite não existe né?! Só que não meu caro leitor! Nesse caso, como o limite vai pra infinito entra um detalhe matematesco na jogada! Aquela macetada de passar o limite pra dentro deixa de valer! Ou seja, não podemos fazer isso: lim k → ∞ ⁡ A k = lim k → ∞ ⁡ P ⋅ D k ⋅ P - 1 ⇒

lim k → ∞ ⁡ A k = P lim k → ∞ ⁡ D k P - 1

Logo, teríamos que resolver o produto P D k P - 1 em função de k e só depois fazer o limite ;)

Vamos ver um exemplo desse caso nos exercícios então partiu praticar!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Curso Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações Terceira Edição, Marco Cabral e Paulo Goldfeld, página 214 e 211 Prob. 7.15 b), Ext. 7.23 a).

Calcule:

a   lim k → ∞ ⁡ 0.6 0.2 0.4 0.8 k

b   lim k → ∞ ⁡ 0.4 0.3 0.6 0.7 k

Passo 1

a   Bom, para elevarmos uma matriz a um expoente precisamos diagonalizá-la, logo vamos a busca pelos autovalores e autovetores.

Antes, vamos os elementos da matriz para frações:

A = 3 5 1 5 2 5 4 5

A - λ I = 3 5 - λ 1 5 2 5 4 5 - λ

Calculando os autovalores:

p λ = det ⁡ A - λ I = λ 2 - 7 5 λ + 2 5 ⇒

p λ = λ - 1 λ - 2 5 = 0

λ = 1   o u   λ = 2 5

Fazendo algumas contas podemos ver que o autoespaço:

Para λ = 1 é:

V λ = 1 = s p a n 1,2

E para λ = 2 5 :

V λ = 2 5 = s p a n { - 1,1 }

Passo 2

Agora que já temos os autovetores, vamos diagonalizar:

A = P D P - 1

Como:

D = 1 0 0 2 5

lim k → ∞ ⁡ A k = P lim k → ∞ ⁡ D k P - 1

Basta calcularmos o limite da matriz diagonal:

lim k → ∞ ⁡ D k = lim k → ∞ ⁡ 1 k 0 0 lim k → ∞ ⁡ 2 5 k = 1 0 0 0

Agora como temos os autovetores podemos ver que:

P = 1 - 1 2 1

P - 1 = 1 3 1 3 - 2 3 1 3

lim k → ∞ ⁡ A k = 1 - 1 2 1 ⋅ 1 0 0 0 ⋅ 1 3 1 3 - 2 3 1 3 = 1 3 1 3 2 3 2 3

Passo 3

b   Vamos seguir o mesmo procedimento da letra a .

B - λ I = 2 5 - λ 3 10 3 5 7 10 - λ ⇒

det ⁡ B - λ I = λ 2 - 11 10 λ + 1 10 ⇒

p λ = λ - 1 λ - 1 10 = 0

λ = 1   o u   λ = 1 10  

Fazendo algumas contas verificamos que os autoespaços são:

Para λ = 1 :

V λ = 1 = s p a n 1,2

Para λ = 1 10 :

V λ = 0 = s p a n { - 1,1 }

Passo 4

Agora vamos ao limite! Mas antes vamos montar a matriz dos autovetores e sua inversa!

P = 1 - 1 2 1

P - 1 = 1 3 1 3 - 2 3 1 3

lim k → ∞ ⁡ B k = P lim k → ∞ ⁡ D k P - 1

lim k → ∞ ⁡ D k = lim k → ∞ ⁡ 1 k 0 0 lim k → ∞ ⁡ 1 10 k = 1 0 0 0

Agora, podemos ver que obtemos matriz P , D , P - 1 iguais a letra a), logo o resultado dará o mesmo.

lim k → ∞ ⁡ A k = 1 - 1 2 1 ⋅ 1 0 0 0 ⋅ 1 3 1 3 - 2 3 1 3 = 1 3 1 3 2 3 2 3

Resposta

a   1 3 1 3 2 3 2 3

b   1 3 1 3 2 3 2 3

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Seja u = ( 1 , 2 , 2 ) e A = 1 1 1 0 1 1 0 - 1 1 ⋅ 1 0 0 0 - 2 0 0 0 4 ⋅ 1 - 1 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 . Para qual direção converge o produto A k u , quando k tende a infinito?

a   Não converge

b   s p a n 1,3 , 2

c   s p a n 10,1 , 12

d   s p a n { 1,1 , 1 }

Passo 1

Para elevar uma matriz a um expoente, podemos elevar a matriz diagonal ao mesmo expoente e depois efetuar o resto dos produtos. Beleza! Mas nesse caso, se você tentar elevar a diagonal ao expoente teremos:

1 k 0 0 0 ( - 2 ) k 0 0 0 4 k

E se você tentar fazer o k tender a infinito, não vai adiantar nada, já que vai ficar assim:

1 0 0 0 ∞ 0 0 0 ∞

Opa, então a resposta é que não converge né? Matei!

Passo 2

Só que não jovem gafanhoto! Você não ta tirando o limite só de D k , mas sim de P D k P - 1 u ! Vamos ver no que dá se resolvermos essa multiplicação:

lim k → ∞ ⁡ A k u = lim k → ∞ ⁡ 1 1 1 0 1 1 0 - 1 1 ⋅ 1 0 0 0 ( - 2 ) k 0 0 0 4 k ⋅ 1 - 1 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 u

Resolvendo esse produto feio ai: lim k → ∞ ⁡ A k u = lim k → ∞ ⁡ 1 - 2 k 4 k 0 - 2 k 4 k 0 - - 2 k 4 k ⋅ 1 - 1 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 u = lim k → ∞ ⁡ 1 - 1 + - 2 k 2 + 4 k 2 - - 2 k 2 + 4 k 2 0 - 2 k 2 + 4 k 2 - - 2 k 2 + 4 k 2 0 - - 2 k 2 + 4 k 2 - 2 k 2 + 4 k 2 u

Então

lim k → ∞ ⁡ A k u = lim k → ∞ ⁡ - 1 + 2 4 k 2 4 k 2 4 k

Opa! Vambora que ta ficando bonito!

Passo 3

Repara agora naquela primeira coordenada lá:

lim k → ∞ ⁡ - 1 + 2 4 k

Você ta subtraindo 1 de um cara gigantesco indo pro infinito! Tu acha que aquele 1 vai fazer alguma coisa naquele porrolhão? Não né! Então vamos jogar ele fora que no limite não vai mudar nossa conta! Ficamos com:

lim k → ∞ ⁡ A k u = lim k → ∞ ⁡ 2 4 k 2 4 k 2 4 k

Agora repara o seguinte, vamos passar o 2 4 k pra fora do vetor:

lim k → ∞ ⁡ A k u = lim k → ∞ ⁡ 2 4 k 1 1 1

Temos o que? Um número constante MUUUUUITO grande multiplicando o vetor 1,1 , 1 . Opa, uma constante multiplicando um vetor não costuma mudar a direção desse vetor não né? Então, no limite de k indo pra infinito, A k u tem a direção de ninguém mais ninguém menos que 1,1 , 1 !

Resposta

Letra d