Classificação de Formas Quadráticas
Teoria
Fala galera, nesse capítulo vamos ver como classificar formas quadráticas!!
Tá, mas o que diabos é uma forma quadrática? Uma forma quadrática é uma função desse tipo:
Esse tipo de função pode ser classificada em:
- Definida positiva → para todo não nulo
- Definida negativa → para todo não nulo
- Semi-definida positiva → para todo não nulo
- Semi-definida negativa → para todo não nulo
- Indefinida → pode ser positivo ou negativo dependendo de e
Okay, mas como classificamos isso? Primeiro temos que escrever ela de uma forma meio estranha. Vamos ver um exemplo pra ficar claro:
Exemplo:
Temos . Essa função pode ser escrita na forma:
Como podemos ver, a matriz é simétrica e portanto diagonalizável! Se calcularmos os autovalores dela obteremos e . Se diagonalizarmos ela ficaremos com algo assim:
Por ser simétrica, a matriz além de diagonalizável também possui uma base ortonormal de autovetores, lembra? Ou seja, podemos encontrar uma matriz de autovetores ortogonal, de forma que . Se fizermos ainda , temos:
Agora chamamos e . E definimos . Logo:
De forma geral, temos , portanto:
Ufa, agora se fizermos o produto:
Temos que para vetores , logo essa forma quadrática é semi-definida positiva!
O procedimento geral é o seguinte:
Dada uma forma quadrática:
Passo 1: Reescreva a função na forma:
Passo 2: Ache os autovalores da matriz e reescreva novamente a função como:
Passo 3: Se todos os autovalores forem positivos, a função é definida positiva. Se todos os autovalores forem negativos, a função é definida negativa. Se a função tiver apenas autovalor nulo e positivo, ela é semi-definida positiva. Se a função tiver apenas autovalor nulo e negativo, ela é semi-definida negativa. Caso contrário, a função será indefinida.
Obs.: Ao invés de calcularmos os autovalores podemos fazer uma análise mais rápida pelo determinante e traço da matriz. Como o determinante é o produto dos autovalores, se ele for menor que zero, temos que a função é indefinida.
Se o determinante for maior que zero, encontramos o traço da matriz (soma dos autovalores). Se o traço for positivo, a função é positivo definida. Se for negativo, a função é negativo definida.
Se o determinante for igual a zero, encontramos o traço da matriz. Se o traço for positivo, a função é semi-definida positiva. Se for negativo, a função é semi-definida negativa.
Classificação para funções de variáveis
De forma análoga, podemos classificar funções do tipo:
Passo 1: Reescreva a função na forma:
Passo 2: Ache os autovalores da matriz e reescreva novamente a função como:
Passo 3: Se todos os autovalores forem positivos, a função é definida positiva. Se todos os autovalores forem negativos, a função é definida negativa. Se a função tiver apenas autovalores nulos e positivos, ela é semi-definida positiva. Se a função tiver apenas autovalores nulos e negativos, ela é semi-definida negativa. Caso contrário, a função será indefinida.
Obs.: Aqui como temos autovalores aquela análise que fizemos do determinante e traço não vale mais!!! Tem até um jeito de se encontrar pelos determinantes mas não vale a pena tratarmos dele aqui. Vamos ter que achar os autovalores na raça mesmo haha.
Classificação para funções de 3 variáveis
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 24 – Prob. 1.14
Determine por inspeção se é :
Passo 1
Letra
Como podemos ver o segundo vetor é quase o primeiro, pois se multiplicarmos o primeiro por , teremos:
E como as três primeiras coordenadas ficaram iguais, caso forcemos a ultima coordenadas ser , as outras três ficarão diferentes. Então, podemos afirmar que não existe um jeito de forçar o vetor de ficar com as coordenadas iguais ao , sendo multiplicado por um numero apenas. Logo é conjunto é .
Letra
Bom, se multiplicarmos o primeiro vetor por ele dá exatamente o segundo vetor e, portanto vemos que ambos são múltiplos. Logo o conjunto é .
Passo 2
Letra
Podemos ver que se somarmos os dois primeiros vetores desse conjunto, teremos:
Que dá exatamente o terceiro vetor e, portanto, o conjunto é .
Letra
Opa, viu o vetor nulo, não precisa nem pensar! Já sabe que o conjunto é !
Resposta
Sim
Não
Não
Não
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria
Classifique as formas quadráticas abaixo:
Passo 1
Reescrevemos a função como:
Temos que:
Como o determinante é zero, e o traço é negativo, a função é semi definida negativa.
Passo 2
Reescrevemos a função como:
Temos que:
Como o determinante é negativo, a função é indefinida.
Passo 3
Reescrevemos a função como:
Encontrando os autovalores:
Logo, temos os autovalores , e . Portanto, a função é semi definida positiva.
Resposta
Semi definida negativa
Indefinida
Semi definida positiva