Teoria

Fala aí! Bora aprender TUDO sobre Diagonalização de Matrizes?

O que Significa Diagonalizar uma Matriz?

Diagonalizar é escrever uma matriz, que representa uma transformação linear (TL) na base dos autovetores na qual ela é diagonal.

-Hãam? 😖

Pra ficar mais claro eu vou te dar um exemplo!

Vamos pegar uma , tal que e escrever ela na base canônica, assim teremos . Quando diagonalizamos a matriz , ela fica com essa carinha aqui:

Matriz A diagonalizada.
Matriz A diagonalizada.

O que fizemos aqui foi pegar uma matriz qualquer, quadrada e transformar ela em uma matriz diagonal, que vamos chamar de .

Agora você me pergunta, qual é a relação entre a matriz e a matriz ?

O que é uma excelente pergunta! Os elementos da diagonal da matriz são os autovalores da matriz ! 😱😱😱

Dizemos que uma matriz é diagonalizavel se existe uma matriz invertível e diagonal, tal que:

Matriz diagonal D
Matriz diagonal D

Essa matriz é a matriz de autovetores de . Ou seja, TÁ TUDO CONECTADO! 😱😱😱

Uma outra forma de escrever a relação acima é essa daqui:

Decomposição espectral da matriz A
Decomposição espectral da matriz A

Chamamos essa relação de decomposição espectral, guarda esse nome porque ele é importante! Mas agora vamos ao que interessa…bora aprender o passo a passo pra diagonalizar uma matriz e é claro, como descobrir se uma matriz é diagonalizavel!

Como Diagonalizar uma Matriz?

Pra a gente aprender como diagonalizar uma matriz, vamos usar o mesmo exemplo que vimos ali em cima e calcular . Só que vamos fazer de conta que não conhecemos a matriz , combinado?!

Como Diagonalizar uma Matriz
Como Diagonalizar uma Matriz

A resolução desse problema você também pode conferir no vídeo abaixo!

Passo 1: Calcular os Autovalores de

Pra a gente achar a forma diagonal da matriz , vamos precisar fazer:

A matriz tem os autovalores na diagonal, que pode ser calculado por:

Fazendo isso, temos:

Passo 2: Calcular os Autovetores

Para calcular os autovetores, fazemos:

Primeiro calculamos o autovetor associado a :

Agora, para o autovetor associado a :

Passo 3: Montar a Matriz D e a Matriz P

Finalmente podemos montar a matriz diagonal e a matriz que são as nossas respostas!

Prontinho!

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