21. Neste exercício, estabelemos que uma matriz A é ortogonalmente diagonalizável se, e só se, é simétrica. Já mostramos que uma matriz diagonalizável ortogonalmente é simétrica. A parte mais difícil é provar que uma matriz simétrica é diagonalizável ortogonalmente. Procedemos em duas etapas, mostrando primeiro que A é diagonalizável e depois, usando isso, mostrando que A é diagonalizável ortogonalmente.

(a) Suponha que A seja uma matriz n × n   simétrica. Uma maneira de provar que A é diagonalizável é mostrar que a multiplicidade geométrica de qualquer autovalor λ 0 é igual à multiplicidade algébrica desse autovalor. Para isso, se a multiplicidade geométrica de λ 0 for k , tomamos uma base ortonormal B 0 = u 1 , u 2 , … , u k do autoespaço associado a λ 0 , estendemos essa base a uma base ortonormal B = u 1 , u 2 , … , u n de R n e tomamos a matriz P cujas colunas são os vetores de B . Conforme mostramos no Exercício 34(b) da Seção 5.2, o produto AP pode ser escrito como

A P = P λ 0 I k X 0 Y

Use o fato de que B é uma base ortonormal para provar que X = 0 , a matriz nula de tamanho n × n - k .

(b) Segue da parte (a) e do Exercício 34(c) da Seção 5.2 para provar que o polinômio caracterítico de A é igual ao de

C = λ 0 I k 0 0 Y

Use esse fato e o exercício 34(d) da Seção 5.2 para provar que a multiplicidade algébrica de λ 0 é igual à multiplicidade geométrica de λ 0 . Isso estabelece que A é diagonalizável.

(c) Use o Teorema 7.2.2b e o fato de A ser diagonalizável para provar que A é ortogonalmente diagonalizável.

Passo 1

(a) Primeiro vamos dividir nossa matriz P …

P = P 1 P 2

Então podemos reescrever:

A P 1 P 2 = P 1 P 2 λ 0 I k X 0 Y

Fazendo as multiplicações vetoriais:

A P 1 A P 2 = P 1 λ 0 I k + P 2 0 P 1 X + P 2 Y

Comparando as colunas:

A P 1 = P 1 λ 0 I k + P 2 0

A P 1 = P 1 λ 0 I k

Ok.

E agora:

A P 2 = P 1 X + P 2 Y

Como a base de P é ortonormal, isso só pode acontecer se:

X = 0

Passo 2

(b) Aqui é bem simples... já demonstramos no outro exercício que a multiplicidade algébrica do autovalor é maior ou igual à multiplicidade geométrica... porém lá X não era zero...

Como X = 0 , então não vai ter nenhum autovetor a mais.

Portanto a multiplicidade algébrica é igual à multiplicidade geométrica.

Resposta

Demonstração

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