Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 21
21. Neste exercício, estabelemos que uma matriz é ortogonalmente diagonalizável se, e só se, é simétrica. Já mostramos que uma matriz diagonalizável ortogonalmente é simétrica. A parte mais difícil é provar que uma matriz simétrica é diagonalizável ortogonalmente. Procedemos em duas etapas, mostrando primeiro que A é diagonalizável e depois, usando isso, mostrando que A é diagonalizável ortogonalmente.
(a) Suponha que A seja uma matriz simétrica. Uma maneira de provar que A é diagonalizável é mostrar que a multiplicidade geométrica de qualquer autovalor é igual à multiplicidade algébrica desse autovalor. Para isso, se a multiplicidade geométrica de for , tomamos uma base ortonormal do autoespaço associado a , estendemos essa base a uma base ortonormal de e tomamos a matriz cujas colunas são os vetores de . Conforme mostramos no Exercício 34(b) da Seção 5.2, o produto AP pode ser escrito como
Use o fato de que é uma base ortonormal para provar que , a matriz nula de tamanho .
(b) Segue da parte (a) e do Exercício 34(c) da Seção 5.2 para provar que o polinômio caracterítico de é igual ao de
Use esse fato e o exercício 34(d) da Seção 5.2 para provar que a multiplicidade algébrica de é igual à multiplicidade geométrica de . Isso estabelece que é diagonalizável.
(c) Use o Teorema 7.2.2b e o fato de A ser diagonalizável para provar que A é ortogonalmente diagonalizável.
Passo 1
(a) Primeiro vamos dividir nossa matriz
Então podemos reescrever:
Fazendo as multiplicações vetoriais:
Comparando as colunas:
Ok.
E agora:
Como a base de P é ortonormal, isso só pode acontecer se:
Passo 2
(b) Aqui é bem simples... já demonstramos no outro exercício que a multiplicidade algébrica do autovalor é maior ou igual à multiplicidade geométrica... porém lá não era zero...
Como , então não vai ter nenhum autovetor a mais.
Portanto a multiplicidade algébrica é igual à multiplicidade geométrica.
Resposta
Demonstração