Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 17

17. (a) Mostre que, para cada inteiro positivo , podemos encontrar 1 vetores linearmente independentes em . (Sugestão: procure polinômios.)

(b) Use o resultado da parte (a) para provar que tem dimensão infinita.

Passo 1

(a) bem... vamos usar o teorema:

Se as funções têm derivadas contínuas no intervalo e se o wronskiano destas funções não é identicamente zero em , então essas funções formam um conjunto linearmente independente de vetores.

Então... A gente só precisa aplicar esse teorema pra funções... que aí elas vão ter derivadas contínuas... e já fica demonstrado.

Passo 2

(b) Bem... da definição dizemos que se um espaço vetorial não contém um conjunto finito de vetores linearmente independentes, então ele tem dimensão infinita.

De fato, ne... porque sempre que escolhermos um sempre vai ter vetores linenarmente independentes... sendo assim, não é um número finito.

Então tem dimensão infinita.

Resposta

Demonstração

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a ) Dado o subespaço V 1 = x , y , z ∈ R 3 | x + 2 y + z = 0 ache um subespaço V 2 tal que R 3 = V 1 ⊕ V 2 . b ) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R 3 tais que V 1 + V 2 = R 3 . A som

Se I α α ' = 1 0 11 - 1 00 1 - 1 ache : a )v α onde v α ' = - 1 2 3 b )v α ' onde v α = - 1 2 3

Sejam β = 1,0 , ( 0,1 ) , β 1 = - 1,1 , ( 1,1 ) , β 2 = 3 , 1 , ( 3 , - 1 ) e β 3 = 2,0 , ( 0,2 ) bases ordenadas de R 2 , a ) Ache as matrizes mudança de base: i ) I β β 1 i i ) I β 1 β i i i ) I β 2

Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz mudança de base I α α ?

Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam β = 1 00 0 , 0 01 0 , 0 00 1 e β 1 = 1 00 0 , 1 01 0 , 1 01 1 duas bases de V . Ache I β β 1 .