17. (a) Mostre que, para cada inteiro positivo n , podemos encontrar n + 1 vetores linearmente independentes em F - ∞ , ∞ . (Sugestão: procure polinômios.)

(b) Use o resultado da parte (a) para provar que F - ∞ , ∞ tem dimensão infinita.

Passo 1

(a) bem... vamos usar o teorema:

Se as funções f 1 , f 2 , … , f n têm n - 1 derivadas contínuas no intervalo ( - ∞ , ∞ ) e se o wronskiano destas funções não é identicamente zero em ( - ∞ , ∞ ) , então essas funções formam um conjunto linearmente independente de vetores.

Então... A gente só precisa aplicar esse teorema pra n + 1 funções... que aí elas vão ter n derivadas contínuas... e já fica demonstrado.

Passo 2

(b) Bem... da definição dizemos que se um espaço vetorial não contém um conjunto finito de vetores linearmente independentes, então ele tem dimensão infinita.

De fato, ne... porque sempre que escolhermos um n sempre vai ter n + 1 vetores linenarmente independentes... sendo assim, não é um número finito.

Então tem dimensão infinita.

Resposta

Demonstração

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