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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 2a

Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do R 2 dado por

  1. T 1 ,   0 ,   0 = 2 ,   0 ,   0 ,     T 0 ,   1 ,   0 = 2 ,   1 ,   2   e   T ( 0 ,   0 ,   1 ) = ( 3 ,   2 ,   1 ) ;

Passo 1

Primeiro, vamos colocar em forma de matriz de T 1 ,   0 ,   0 = 2 ,   0 ,   0 ,     T 0 ,   1 ,   0 = 2 ,   1 ,   2   e   T ( 0 ,   0 ,   1 ) = ( 3 ,   2 ,   1 ) . Para isso vamos colocar em um sistema para ficar claro

Você reparou que a primeira matriz é a identidade? Isso significa que qualquer matriz multiplicada pela identidade vai resultar a própria matriz, dessa forma

a d g b e h c f i = 2 2 3 0 1 2 0 2 1

Encontramos a matriz! Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I λ = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Passo 2

Vamos subtrair

2 2 3 0 1 2 0 2 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 2 - λ 2 3 0 1 - λ 2 0 2 1 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante!

2 - λ 2 3 0 1 - λ 2 0 2 1 - λ 2 - λ 2 0 1 - λ 0 2

Então calculando o determinante temos a equação característica

4 λ 2 - 6 - λ 3 - λ

Uhuul! Encontramos o polinômio característico! Resolvendo os autovalores são

λ 1 = - 1 ,   λ 2 = 2 ,   λ 3 = 3

Bora encontrar os vetores próprios?

Passo 3

Começando para λ 1 = - 1

2 - ( - 1 ) 2 3 0 1 - ( - 1 ) 2 0 2 1 - ( - 1 ) = 3 2 3 0 2 2 0 2 2

Colocando em um sisteminha teremos

3 2 3 0 2 2 0 2 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

A matriz estendida será

3 2 3 0 0 2 2 0 0 2 2 0

Fazendo Gauss-Jordan para simplificar a matriz, teremos

3 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

No sistema então

3 x 1             + x 3 = 0                   x 2 + x 3 = 0 x 3 = t   → x 1 = 1 3 x 3 x 2 = - x 3 x 3 = t   → x 1 = 1 3 t x 2 = - t x 3 = t  

Logo o vetor é

1 3 t ,   - t ,   t → t 1 3 ,   - 1 ,   1 → 1 3 ,   - 1 ,   1

Passo 4

Para λ 2 = 2

2 - 2 2 3 0 1 - 2 2 0 2 1 - 2 = 0 2 3 0 - 1 2 0 2 - 1

Colocando em um sisteminha teremos

0 2 3 0 - 1 2 0 2 - 1 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

A matriz estendida será

0 2 3 0 0 - 1 2 0 0 2 - 1 0

Fazendo Gauss-Jordan para simplificar a matriz, teremos

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

No sistema então

x 1 = t x 2 = 0 x 3 = 0  

Logo o vetor é

t ,   0 ,   0 → t 1 ,   0 ,   0 → 1 ,   0 ,   0

Passo 5

Começando para λ 3 = 3

2 - 3 2 3 0 1 - 3 2 0 2 1 - 3 = - 1 2 3 0 - 2 2 0 2 - 2

Colocando em um sisteminha teremos

- 1 2 3 0 - 2 2 0 2 - 2 x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

A matriz estendida será

- 1 2 3 0 0 - 2 2 0 0 2 - 2 0

Fazendo Gauss-Jordan para simplificar a matriz, teremos

1 0 - 5 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0

No sistema então

x 1           - 5 x 3 = 0                   x 2 - x 3 = 0 x 3 = t   → x 1 = 5 x 3 x 2 = x 3 x 3 = t   → x 1 = 5 t x 2 = t x 3 = t  

Logo o vetor é

5 t , t ,   t → t 5 ,   1 ,   1 → 5 ,   1 ,   1

Resposta

- 1 ,   1 3 ,   - 1 ,   1

2 ,   ( 1 ,   0 ,   0 )

3 ,   ( 5 ,   1 ,   1 )

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Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do R 2 dado por b)T 1 ,0 ,0 = ( 0 ,0 ,0 ) , T ( 0 ,1 ,0 ) = ( 0 ,0 ,0 )eT ( 0 ,0 ,1 )=( 5 ,- 1 ,2 ) .