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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 5

Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes:

2 0 1 1 .   - 1 - 1 - 3 1 .   2 1 0 1   e   - 1 - 3 - 1 1

Passo 1

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 λ

Passo 2

Para

2 0 1 1

Vamos subtrair

2 0 1 1 - λ 0 0 λ = 2 - λ 0 1 1 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante! Ah, uma coisa importante: quando é uma matriz normal podemos escrever em parênteses (), ou em colchetes [], mas quanto é determinante deve ser escrito em barras!

2 - λ 0 1 1 - λ = 0

Então calculando o determinante temos a equação característica

2 - λ 1 - λ - 0 = 0

∴

2 - 3 λ + λ 2 = 0

Uhuul! Encontramos o polinômio característico! Queremos descobrir as raízes. Então faremos Bháskara

Δ = b 2 - 4 a c → - 3 2 - 4 × 1 × 2 = 1

λ = - b ±   Δ 2 a → 3 ± 1 2

Então

λ 1 = 2   e   λ 2 = 1

Passo 3

Para

- 1 - 1 - 3 1

Vamos subtrair

- 1 - 1 - 3 1 - λ 0 0 λ = - 1 - λ - 1 - 3 1 - λ

Colocando no determinante

- 1 - λ - 1 - 3 1 - λ = 0

Então calculando o determinante! temos a equação característica

1 + λ λ - 1 - 3 = 0 → λ 2 - 4 = 0

Fatorando

λ - 2 λ + 2 = 0

Então

λ 1 = 2   e   λ 2 = - 2

Passo 4

Para

2 1 0 1

Vamos subtrair

2 1 0 1 - λ 0 0 λ = 2 - λ 1 0 1 - λ

Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante!

2 - λ 1 0 1 - λ = 0

Então calculando o determinante! temos a equação característica

2 - λ 1 - λ = 0

Então

λ 1 = 2   e   λ 2 = 1

Passo 5

Para

- 1 - 3 - 1 1

Vamos subtrair

- 1 - 3 - 1 1 - λ 0 0 λ = - 1 - λ - 3 - 1 1 - λ

Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante!

- 1 - λ - 3 - 1 1 - λ = 0

Então calculando o determinante! temos a equação característica

λ 2 - 4 = 0

Fatorando

λ - 2 λ + 2 = 0

Então

λ 1 = 2   e   λ 2 = - 2

Resposta

Equação: 2 - 3 λ + λ 2 = 0

Valor Próprio: λ 1 = 2   e   λ 2 = 1

Equação: λ 2 - 4 = 0

Valor Próprio: λ 1 = 2   e   λ 2 = - 2

Equação: λ 2 - 3 λ + 2 = 0

Valor Próprio: λ 1 = 2   e   λ 2 = 1

Equação: λ 2 - 4 = 0

Valor Próprio: λ 1 = 2   e   λ 2 = - 2

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