Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 1a

Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:

T(x, y) = (x + y, x - y);

Passo 1

Primeiro, vamos colocar em forma de matriz de que seria

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

Lembrando que é a matriz identidade e o é o valor que queremos descobrir, logo

Passo 2

Vamos subtrair

Certinho? Então descobrimos , agora falta colocar no determinante! Ah, uma coisa importante: quando é uma matriz normal podemos escrever em parênteses (), ou em colchetes [], mas quanto é determinante deve ser escrito em barras!

Então calculando o determinante temos a equação característica

Uhuul! Encontramos o polinômio característico! Vamos fatorar

Então os valores próprios são

Passo 3

Agora vamos pro vetor próprio usando

Colocando no sisteminha de equações

Simplificando

Então

Logo o vetor é

Passo 4

Agora vamos para

Colocando no sisteminha de equações

Simplificando

Então

Logo o vetor é

Resposta

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Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?

Calcular o polinômio característico e os valores próprios da matriz: 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 0 0 - 2 4

Provar que se λ é valor próprio de T, então λ n é valor próprio de T n . Generalizando, se p(t) é um polinômio então p ( λ ) é valor próprio de p(T), onde p T =a 0 1+ a 1 T+ . . .+a n T n se p ( t )=a

Sejam A e B matrizes triangulares com a mesma diagonal principal ( a i i=b j j ,i =1 ,. . . ,n ) . Prove que: P A ( t )=P B ( t )

Determinar valores próprios do operador linear T : V → V do R 4 que é definido em uma base { e 1 ,..., e n } por T e i = λ i ∈ R .