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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 11

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

A = 1 2 3 0 1 2 0 0 1

Passo 1

Para achar os autovalores e autovetores da matriz temos que calcular:

det ⁡ A - λ I

Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Vamos então agora calcular A - λ I :

A - λ I = 1 2 3 0 1 2 0 0 1 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = 1 - λ 2 3 0 1 - λ 2 0 0 1 - λ

Passo 2

Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

det ⁡ A - λ I = 0 → 1 - λ 2 3 0 1 - λ 2 0 0 1 - λ = 0 → 1 - λ 1 - λ 1 - λ = 0 → λ = 1

Temos que o autovalor de A é 1 .

Passo 3

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor 1 :

T v = λ v → 1 2 3 0 1 2 0 0 1 x y z = 1 ⋅ x y z → x + 2 y + 3 z y + 2 z z = x y z

Temos então o sistema:

x + 2 y + 3 z = x y + 2 z = y z = z

Isolando os termos vamos achar os valores:

y + 2 z = y → z = 0

x + 2 y + 3 z = x → 2 y + 3 z = 0 → y = 0

Pronto, assim temos:

x , 0,0 = x 1,0 , 0

Então os autovetores são da forma:

v = 1,0 , 0

Resposta

λ = 1

v = 1,0 , 0

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Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = 3 - 3 - 4 0 3 5 0 0 - 1
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = 1 0 2 - 1 0 1 1 1 2
Seja A = - 1 - 2 0 0 - 1 1 1 0 0 . Quais são os autovalores e autovetores de A de um espaço vetorial:RealComplexo